Leçon #1527
Actif : true
Numero : 209
Titre : Approximation d’une fonction par des fonctions régulières. Exemples d’applications.2025
Créé le : 23/07/2026 12:42
Mis à jour : 23/07/2026 12:42
Rapport du jury 2014
Cette leçon comporte un certain nombre de classiques comme le théorème de Stone-Weierstrass. Comme la leçon 202, elle permet d'explorer aux candidats plus ambitieux d'aller jusqu'à la résolution d'équations aux dérivées partielles (ondes, chaleur, Schrödinger) par séries de Fourier. \r
Cette leçon comporte un certain nombre de classiques comme le théorème de Stone-Weierstrass. Comme la leçon 202, elle permet d'explorer aux candidats plus ambitieux d'aller jusqu'à la résolution d'équations aux dérivées partielles (ondes, chaleur, Schrödinger) par séries de Fourier. \r
Rapport du jury 2015
Cette leçon comporte un certain nombre de classiques. Les polynômes d'interpolation de Lagrange, les polynômes de Bernstein sont des classiques tout comme le théorème général de Stone-Weierstrass.En ce qui concerne le théorème de Weierstrass par les polynômes de Bernstein, un candidat plus ambitieux pourra donner une estimation de la vitesse de convergence (avec le module de continuité), et éventuellement en montrer l'optimalité. Il n'est pas absurde de voir la formule de Taylor comme une approximation locale d'une fonction par des polynômes. Comme la leçon 202, elle permet aux candidats plus ambitieux d'aller jusqu'à la résolution d'équations aux dérivées partielles (ondes, chaleur, Schrödinger) par séries de Fourier.
Cette leçon comporte un certain nombre de classiques. Les polynômes d'interpolation de Lagrange, les polynômes de Bernstein sont des classiques tout comme le théorème général de Stone-Weierstrass.En ce qui concerne le théorème de Weierstrass par les polynômes de Bernstein, un candidat plus ambitieux pourra donner une estimation de la vitesse de convergence (avec le module de continuité), et éventuellement en montrer l'optimalité. Il n'est pas absurde de voir la formule de Taylor comme une approximation locale d'une fonction par des polynômes. Comme la leçon 202, elle permet aux candidats plus ambitieux d'aller jusqu'à la résolution d'équations aux dérivées partielles (ondes, chaleur, Schrödinger) par séries de Fourier.
Rapport du jury 2016
Cette leçon comporte un certain nombre de classiques comme par exemple les polynômes de Bernstein, éventuellement agrémenté d’une estimation de la vitesse de convergence (avec le module de continuité). Il n’est pas absurde de voir la formule de Taylor comme une approximation locale d’une fonction par des polynômes. Les polynômes d’interpolation de Lagrange peuvent être mentionnés en mettant en évidence les problèmes qu’ils engendrent du point de vue de l’approximation. Pour aller plus loin, le théorème de Fejér (versions $L^1$, $L^p$ ou $C(T)$) offre aussi la possibilité d’un joli développement, surtout s’il est agrémenté d’applications (polynômes trigonométriques lacunaires, injectivité de la transformée de Fourier sur $L^1$ , . . .), mais on peut aussi s’intéresser à la convolution avec d’autres noyaux.
Cette leçon comporte un certain nombre de classiques comme par exemple les polynômes de Bernstein, éventuellement agrémenté d’une estimation de la vitesse de convergence (avec le module de continuité). Il n’est pas absurde de voir la formule de Taylor comme une approximation locale d’une fonction par des polynômes. Les polynômes d’interpolation de Lagrange peuvent être mentionnés en mettant en évidence les problèmes qu’ils engendrent du point de vue de l’approximation. Pour aller plus loin, le théorème de Fejér (versions $L^1$, $L^p$ ou $C(T)$) offre aussi la possibilité d’un joli développement, surtout s’il est agrémenté d’applications (polynômes trigonométriques lacunaires, injectivité de la transformée de Fourier sur $L^1$ , . . .), mais on peut aussi s’intéresser à la convolution avec d’autres noyaux.
Rapport du jury 2017
Cette leçon comporte un certain nombre de classiques comme par exemple les polynômes de Bernstein, éventuellement agrémentés d’une estimation de la vitesse de convergence (avec le module de continuité). Il n’est pas absurde de voir la formule de Taylor comme une approximation locale d’une fonction par des polynômes. Les polynômes d’interpolation de Lagrange peuvent être mentionnés en mettant en évidence les problèmes qu’ils engendrent du point de vue de l’approximation. La résolution de l’équation de la chaleur et/ou des ondes peut trouver sa place dans cette leçon. \r\rPour aller plus loin, le théorème de Fejér (versions $L^1$, $L^p$ ou $C(T)$) offre aussi la possibilité d’un joli développement, surtout s’il est agrémenté d’applications (polynômes trigonométriques lacunaires, injectivité de la transformée de Fourier sur $L^1$, ...), mais on peut aussi s’intéresser à la convolution avec d’autres noyaux.
Cette leçon comporte un certain nombre de classiques comme par exemple les polynômes de Bernstein, éventuellement agrémentés d’une estimation de la vitesse de convergence (avec le module de continuité). Il n’est pas absurde de voir la formule de Taylor comme une approximation locale d’une fonction par des polynômes. Les polynômes d’interpolation de Lagrange peuvent être mentionnés en mettant en évidence les problèmes qu’ils engendrent du point de vue de l’approximation. La résolution de l’équation de la chaleur et/ou des ondes peut trouver sa place dans cette leçon. \r\rPour aller plus loin, le théorème de Fejér (versions $L^1$, $L^p$ ou $C(T)$) offre aussi la possibilité d’un joli développement, surtout s’il est agrémenté d’applications (polynômes trigonométriques lacunaires, injectivité de la transformée de Fourier sur $L^1$, ...), mais on peut aussi s’intéresser à la convolution avec d’autres noyaux.
Rapport du jury 2019
Pour la session 2020, le titre de cette leçon évolue en $\\$\r\"Approximation d’une fonction par des fonctions régulières. Exemples et applications.\" $\\$\rCe nouvel intitulé ouvre le sujet et permet de mettre en lumière des points de vue de natures différentes, avec des points d’accès de niveaux aussi variés. Bien entendu l’approximation polynomiale ou par polynômes trigonométriques reste un des thèmes centraux de cette leçon et un certain nombre de classiques trouveront à s’exprimer, comme par exemple l’approximation par les polynômes de Bernstein, éventuellement agrémentée d’une estimation de la vitesse de convergence(en termes de module de continuité). $\\$ Il n’est pas absurde de voir la formule de Taylor comme une approximation locale d’une fonction par des polynômes mais on veillera à ne pas trop s’attarder sur ce point. Les polynômes d’interpolation de Lagrange peuvent être mentionnés à condition de maîtriser la différence fondamentale entre interpolation et approximation. L’approximation d’une fonction par des fonctions de classe $C^{\infty}$ par convolution est une technique qui s’intègre parfaitement dans ce nouvel intitulé et qui doit être illustrée d’applications (approximation de fonctions indicatrices, obtention, par densité, d’inégalités ou de résultats asymptotiques, résolution de l’équation de la chaleur,...) $\\$ Dans la même veine, pour aller plus loin, le théorème de Fejér (versions $L^1$, $L^p$ ou $C(\partial \mathcal{D})$) offre la possibilité d’un joli développement, surtout s’il est agrémenté d’applications (polynômes trigonométriques lacunaires, injectivité de la transformée de Fourier sur $L^1$,...). La convolution avec d’autres noyaux (Dirichlet, Jackson) est aussi une source de résultats intéressants.
Pour la session 2020, le titre de cette leçon évolue en $\\$\r\"Approximation d’une fonction par des fonctions régulières. Exemples et applications.\" $\\$\rCe nouvel intitulé ouvre le sujet et permet de mettre en lumière des points de vue de natures différentes, avec des points d’accès de niveaux aussi variés. Bien entendu l’approximation polynomiale ou par polynômes trigonométriques reste un des thèmes centraux de cette leçon et un certain nombre de classiques trouveront à s’exprimer, comme par exemple l’approximation par les polynômes de Bernstein, éventuellement agrémentée d’une estimation de la vitesse de convergence(en termes de module de continuité). $\\$ Il n’est pas absurde de voir la formule de Taylor comme une approximation locale d’une fonction par des polynômes mais on veillera à ne pas trop s’attarder sur ce point. Les polynômes d’interpolation de Lagrange peuvent être mentionnés à condition de maîtriser la différence fondamentale entre interpolation et approximation. L’approximation d’une fonction par des fonctions de classe $C^{\infty}$ par convolution est une technique qui s’intègre parfaitement dans ce nouvel intitulé et qui doit être illustrée d’applications (approximation de fonctions indicatrices, obtention, par densité, d’inégalités ou de résultats asymptotiques, résolution de l’équation de la chaleur,...) $\\$ Dans la même veine, pour aller plus loin, le théorème de Fejér (versions $L^1$, $L^p$ ou $C(\partial \mathcal{D})$) offre la possibilité d’un joli développement, surtout s’il est agrémenté d’applications (polynômes trigonométriques lacunaires, injectivité de la transformée de Fourier sur $L^1$,...). La convolution avec d’autres noyaux (Dirichlet, Jackson) est aussi une source de résultats intéressants.
Rapport du jury 2022
Le programme offre aux candidats plusieurs pistes très riches pour nourrir cette leçon : l'approximation uniforme par des polynômes algébriques ou trigonométriques, la régularisation par convolution. Mais on pourra également penser à l'approximation des fonctions intégrables sur la droite réelle par des fonctions continues à support compact.\rLes séries de Fourier s'intègrent parfaitement à cette leçon, mais le jury a constaté lors de la session 2022 que la théorie $L^2$ était très rarement abordée par les candidats. Dans la même thématique, on peut citer le théorème de Fejér (dans ses versions $L^p$ ou $C(T)$) et ses applications.\r\rVoici enfin quelques pistes à réserver aux candidats solides : le théorème de Runge, le théorème taubérien de Littlewood, l'unicité de la meilleure approximation uniforme d'une fonction continue sur un segment par des polynômes de degré au plus égal à d, les liens entre la régularité et la qualité de l'approximation par des polynômes (algébriques ou trigonométriques) voire des fonctions rationnelles, l'approximation uniforme par des fonctions lipschitziennes
Le programme offre aux candidats plusieurs pistes très riches pour nourrir cette leçon : l'approximation uniforme par des polynômes algébriques ou trigonométriques, la régularisation par convolution. Mais on pourra également penser à l'approximation des fonctions intégrables sur la droite réelle par des fonctions continues à support compact.\rLes séries de Fourier s'intègrent parfaitement à cette leçon, mais le jury a constaté lors de la session 2022 que la théorie $L^2$ était très rarement abordée par les candidats. Dans la même thématique, on peut citer le théorème de Fejér (dans ses versions $L^p$ ou $C(T)$) et ses applications.\r\rVoici enfin quelques pistes à réserver aux candidats solides : le théorème de Runge, le théorème taubérien de Littlewood, l'unicité de la meilleure approximation uniforme d'une fonction continue sur un segment par des polynômes de degré au plus égal à d, les liens entre la régularité et la qualité de l'approximation par des polynômes (algébriques ou trigonométriques) voire des fonctions rationnelles, l'approximation uniforme par des fonctions lipschitziennes