Leçon #791
Actif : false
Numero : 142
Titre : Algèbre des polynômes à plusieurs indéterminées. Applications.2017
Créé le : 23/07/2026 12:42
Mis à jour : 23/07/2026 12:42
Rapport du jury 2014
La leçon ne doit pas se concentrer exclusivement sur les aspects formels ni sur les les polynômes symétriques.\r\rLes aspects arithmétiques ne doivent pas être négligés. Il faut savoir montrer l'irréductibilité d'un polynôme à plusieurs indéterminées en travaillant sur un anneau de type $A[X]$, où $A$ est factoriel. Le théorème fondamental sur la structure de l'algèbre des polynômes symétriques est vrai sur $Z$.\r\rL'algorithme peut être présenté sur un exemple.\r\rLes applications aux quadriques, aux relations racines coefficients ne doivent pas être négligées. On peut faire agir le groupe $GL(n, R)$ sur les polynômes à $n$ indéterminées de degré inférieur à 2.\r
La leçon ne doit pas se concentrer exclusivement sur les aspects formels ni sur les les polynômes symétriques.\r\rLes aspects arithmétiques ne doivent pas être négligés. Il faut savoir montrer l'irréductibilité d'un polynôme à plusieurs indéterminées en travaillant sur un anneau de type $A[X]$, où $A$ est factoriel. Le théorème fondamental sur la structure de l'algèbre des polynômes symétriques est vrai sur $Z$.\r\rL'algorithme peut être présenté sur un exemple.\r\rLes applications aux quadriques, aux relations racines coefficients ne doivent pas être négligées. On peut faire agir le groupe $GL(n, R)$ sur les polynômes à $n$ indéterminées de degré inférieur à 2.\r
Rapport du jury 2015
La leçon ne doit pas se concentrer exclusivement sur les aspects formels ou uniquement sur les polynômes symétriques.Les aspects arithmétiques ne doivent pas être négligés. Il faut savoir montrer l'irréductibilité d'un polynôme à plusieurs indéterminées en travaillant sur un anneau de type $A[X]$, où $A$ est factoriel.Le théorème fondamental sur la structure de l'algèbre des polynômes symétriques est vrai sur $\mathbb{Z}$. L'algorithme peut être présenté sur un exemple.Les applications aux quadriques, aux relations racines/coefficients ne doivent pas être délaissées : on peut faire par exemple agir le groupe $GL(n,\mathbb{R})$ sur les polynômes à n indéterminées de degré inférieur $2$.
La leçon ne doit pas se concentrer exclusivement sur les aspects formels ou uniquement sur les polynômes symétriques.Les aspects arithmétiques ne doivent pas être négligés. Il faut savoir montrer l'irréductibilité d'un polynôme à plusieurs indéterminées en travaillant sur un anneau de type $A[X]$, où $A$ est factoriel.Le théorème fondamental sur la structure de l'algèbre des polynômes symétriques est vrai sur $\mathbb{Z}$. L'algorithme peut être présenté sur un exemple.Les applications aux quadriques, aux relations racines/coefficients ne doivent pas être délaissées : on peut faire par exemple agir le groupe $GL(n,\mathbb{R})$ sur les polynômes à n indéterminées de degré inférieur $2$.
Rapport du jury 2016
Cette leçon ne doit pas se concentrer exclusivement sur les aspects formels ou uniquement sur les polynômes symétriques. Les aspects arithmétiques ne doivent pas être négligés. Il faut savoir montrer l’irréductibilité d’un polynôme à plusieurs indéterminées en travaillant sur un anneau de type $A[X]$, où $A$ est factoriel. Le théorème fondamental sur la structure de l’algèbre des polynômes symétriques est vrai sur $Z$. L’algorithme peut être présenté sur un exemple. Les applications aux quadriques, aux relations racines/cœfficients ne doivent pas être délaissées : on peut faire par exemple agir le groupe $GL_n(R)$ sur les polynômes à n indéterminées de degré inférieur à 2. \r\rS’ils désirent aller plus loin, les candidats peuvent s’aventurer vers la géométrie algébrique et présenter le Nullstellensatz.
Cette leçon ne doit pas se concentrer exclusivement sur les aspects formels ou uniquement sur les polynômes symétriques. Les aspects arithmétiques ne doivent pas être négligés. Il faut savoir montrer l’irréductibilité d’un polynôme à plusieurs indéterminées en travaillant sur un anneau de type $A[X]$, où $A$ est factoriel. Le théorème fondamental sur la structure de l’algèbre des polynômes symétriques est vrai sur $Z$. L’algorithme peut être présenté sur un exemple. Les applications aux quadriques, aux relations racines/cœfficients ne doivent pas être délaissées : on peut faire par exemple agir le groupe $GL_n(R)$ sur les polynômes à n indéterminées de degré inférieur à 2. \r\rS’ils désirent aller plus loin, les candidats peuvent s’aventurer vers la géométrie algébrique et présenter le Nullstellensatz.
Rapport du jury 2017
Cette leçon, qui ne sera pas reconduite en 2018, ne devait pas se concentrer exclusivement sur les aspects formels ou uniquement sur les polynômes symétriques. Les aspects arithmétiques ont parfois pu être négligés. Le jury attendait que les candidats puissent montrer l’irréductibilité d’un polynôme à plusieurs indéterminées en travaillant sur un anneau de type $A[X]$ où $A$ est factoriel. Le théorème fondamental sur la structure de l’algèbre des polynômes symétriques est vrai sur $Z$. L’algorithme pouvait être judicieusement présenté sur un exemple. Les applications aux quadriques, aux relations racines/cœfficients ne devaient pas être délaissées : on pouvait faire par exemple agir le groupe $GL(n,R)$ sur les polynômes à n indéterminées de degré inférieur à 2. Les candidats pouvaient s’aventurer vers la géométrie algébrique et présenter le Nullstellensatz.
Cette leçon, qui ne sera pas reconduite en 2018, ne devait pas se concentrer exclusivement sur les aspects formels ou uniquement sur les polynômes symétriques. Les aspects arithmétiques ont parfois pu être négligés. Le jury attendait que les candidats puissent montrer l’irréductibilité d’un polynôme à plusieurs indéterminées en travaillant sur un anneau de type $A[X]$ où $A$ est factoriel. Le théorème fondamental sur la structure de l’algèbre des polynômes symétriques est vrai sur $Z$. L’algorithme pouvait être judicieusement présenté sur un exemple. Les applications aux quadriques, aux relations racines/cœfficients ne devaient pas être délaissées : on pouvait faire par exemple agir le groupe $GL(n,R)$ sur les polynômes à n indéterminées de degré inférieur à 2. Les candidats pouvaient s’aventurer vers la géométrie algébrique et présenter le Nullstellensatz.