Construction de fonctions dérivables dont la dérivée est discontinue sur un ensemble prescrit
Soit $F$ un réunion dénombrable de fermés d'intérieur vide dans $[0,1]$. Alors il existe une fonction $f:[0,1] \to \mathbf{R}$ dérivable sur $[0,1]$ et dont la dérivée $f'$ est discontinue sur l'ensemble $F$ et continue sur le complémentaire de F (dans $[0,1]$).
| Qualité | Numéro | Titre |
|---|---|---|
| 5 | 228 | Continuité, dérivabilité des fonctions réelles d’une variable réelle. Exemples et applications.2025 |
| 5 | 241 | Suites et séries de fonctions. Exemples et contre-exemples.2025 |
Utilisateur : Jimbo
La fonction solution est construite comme une série de fonctions. La réciproque de la proposition est vraie : si $f$ est dérivable et $f'$ est discontinue exactement sur un ensemble $A$, alors $A$ est une réunion dénombrable de fermés d'intérieur vide. L'énoncé et le corrigé de ce développement peuvent se trouver page 99 du livre Analyse mathématique.
Références :
Analyse mathématique - Choimet, Queffelec