Propriétés des opérateurs compacts
Soit $E$ un Banach, $T : E \to E$ un opérateur compact. Alors, $\ker (I-T)$ est de dimension finie et $\mathrm{Im}(I-T)$ est fermée. De plus, \r- En dimension infinie, $0$ est valeur spectrale de $T$.\r- Les valeurs spectrales non nulles de $T$ sont en fait des valeurs propres, et forment soit un ensemble fini, soit une suite convergeant vers $0$.
| Qualité | Numéro | Titre |
|---|---|---|
| 5 | 203 | Utilisation de la notion de compacité.2025 |
| 5 | 206 | Exemples d’utilisation de la notion de dimension finie en analyse.2025 |
| 5 | 208 | Espaces vectoriels normés, applications linéaires continues. Exemples.2025 |
Utilisateur : Courant Thomas
Ce développement est assez difficile. Dans mon document, je détaille un certain nombre de propriétés sur le spectre des opérateurs compacts. Pour en faire un développement il faut en choisir quelque une et les démontrés. Cela demande de se tester sur 15min. Pour savoir quoi montrer en 15 min je conseille de regarder la version de Malartre.
Le lien vers mon document:
https://perso.eleves.ens-rennes.fr/people/thomas.courant/Agr%C3%A9gation.html
Références :
Cours d'analyse fonctionnelle - Daniel Li
Elements d'analyse fonctionnelle - Hirsch
Analyse fonctionelle - Brézis
Utilisateur : Malartre
On ne va pas se cacher que ce développement est vraiment difficile (et long) : j'aurais tendance à le déconseiller si vous n'avez jamais vu d'opérateurs compacts ou si vous n'êtes pas à l'aise avec. En effet, il y a quelques résultats non triviaux admis, et il faut savoir en donner des idées de démonstration. De plus, il faut savoir répondre à des questions sur les opérateurs compacts.
J'ai choisi de faire un développement sur ce sujet car c'est un peu mon domaine de prédilection, mais je rappelle qu'il n'est pas du tout nécessaire d'être original à l'agreg pour obtenir de très bons résultats.
Selon moi : leçons 203, 206, 208 (2023).
N'hésitez pas à m'écrire si vous repérez des coquilles.
Références :
Analyse fonctionelle - Brézis