La courbe brachistochrone

Au XVIIe siècle, la famille Bernoulli (au moins deux d'entre eux) et Leibniz s'intéressent à un problème initié par Galilée : si on prend deux points d'un plan, quelle doit être la forme de la courbe minimisant le temps de trajet d'un point materiel placé dans un champ de pesanteur uniforme glissant sans frottement et sans vitesse initiale sur cette courbe ? Une telle courbe est appelée courbe brachistochrone, brakhistos voulant dire \"le plus court\" et chronos voulant dire \"le temps\" en grec. Galilée pensait qu'il s'agissait d'un arc de cercle. Cependant, Bernoulli et Leibniz ont prouvé qu'il s'agissait d'un arc de cycloïde : en notant $(x,y)$ les coordonnées dans le plan, avec ici $Oy$ orienté dans le même sens que le champ de pesanteur, il existe $\theta_0 \in (0,2\pi)$ tel que la courbe soit paramétrée par les équations :\r$$\r \left\{\r \begin{array}{rcl}\r x(\theta) & = & R(\theta - \sin(\theta)) \\\r y(\theta) & = & R(1-\cos(\theta))\r \end{array}, \quad \theta \in [0,\theta_0].\r \right.\r$$\rLe but de ce développement est de le montrer, en utilisant des techniques de calcul de variations.