Accélération de la convergence des méthodes itératives par la méthode de Tchebychev

Pour résoudre le système linéaire $Ax = b$ dans $\mathbb{R}^d$ via une méthode itérative basée sur la décomposition $A = M-N$, on étudie des suites récurrentes :\r$$\rx_{k+1} = Bx_k + c\r$$\ravec $B = M^{-1}N$ et $c = M^{-1}b$, qui sont des itérations de point fixe. L'idée derrière la méthode de Tchebychev est de modifier, à chaque étape, le vecteur $x_k$ en un vecteur $y_k$ sous la forme :\r$$\ry_k = \sum_{i = 0}^k a_i^{(k)}x_i.\r$$\rLe but de ce développement est de trouver des $a_i^{(k)}$ satisfaisants pour accélérer la convergence, et cela fait intervenir des polynômes de Tchebychev !