L'algèbre linéaire au service de la théorie des corps : la norme
Dans ce développement, si $K$ est un corps et $L/K$ une extension finie, on montre des résultats élémentaires sur le lien entre la norme $N_{K(\alpha)/K}(\alpha)$ d'un élément $\alpha \in L$ et les racines du polynôme minimal $\pi_{K,\alpha}$ dans son corps de décomposition. On utilisera alors ces résultats dans le cadre des corps finis pour en caractériser les carrés ou dans le cadre des anneaux d'entiers de corps de nombre pour en caractériser les éléments inversibles.
| Qualité | Numéro | Titre |
|---|---|---|
| 5 | 125 | Extensions de corps. Exemples et applications2025 |
| 5 | 127 | Exemples de nombres remarquables. Exemples d’anneaux de nombres remarquables. Applications.2025 |
| 5 | 144 | Racines d’un polynôme. Fonctions symétriques élémentaires. Exemples et applications.2025 |
| 5 | 149 | Déterminant. Exemples et applications.2025 |
| 4 | 123 | Corps finis. Applications.2025 |
| 3 | 148 | Dimension d’un espace vectoriel (on se limitera au cas de la dimension finie). Rang. Exemples et applications.2025 |
Utilisateur : Matoumatheux
La partie sur les corps finis n'est pas dans le Gozard mais se retrouve facilement, à vous de voir. Si vous êtes calés en théorie de Galois, vous pourrez plutôt prouver la formule générale que j'ai mise en remarque. Pour la leçon 127, mieux vaut utiliser la norme pour caractériser les inversibles des anneaux d'entiers des corps de nombres !
Références :
Théorie de Galois - Gozard