Connexité de $\mathbb{R}$, TVI, TAF, applications

On démontre les résultats suivants.\r\r1) Les connexes de $\mathbb{R}$ sont exactement les intervalles.\r\r2) [TVI] Soit $X$, un espace topologique connexe et $f : X\to\mathbb{R}$ continue. Alors $f(X)$ est un intervalle. En particulier, s'il existe $x,y\in X$ tel que $f(x)f(y)\le 0$, alors il existe $z\in X$ tel que $f(z)=0$.\r\r3) [TAF] Soit $a<b$. Soit $f : [a,b]\to F, g: [a,b]\to \mathbb{R}$ avec $F$, un Banach. On suppose que $f$ et $g$ sont continues sur $[a,b]$, dérivables sur $]a,b[$ et que\r$$\r\forall t\in ]a,b[, \Vert f'(t)\Vert \le g'(t).\r$$\rAlors\r$$\r\Vert f(b)-f(a)\Vert \le g(b)-g(a).\r$$\r\r4) Application : Soit $U$, un ouvert de $E$ connexe. Soit $f : U\to E$ différentiable telle que $Df=0$. Alors $f$ est constante.