Injectivité de la transformation de Fourier
Le but de ce développement est de montrer que la transformée de Fourier est injective (résultat très utile en théorie des probabilités via la fonction caractéristique). Pour cela, nous allons tout d’abord redémontrer un premier résultat préliminaire et la formule de dualité avant de passer à la démonstration.
| Qualité | Numéro | Titre |
|---|---|---|
| 5 | 244 | Exemples d'études et d'applcations de fonctions usuelles et spéciales.2024 |
| 5 | 234 | Fonctions et espaces de fonctions Lebesgue-intégrables.2025 |
| 5 | 239 | Fonctions définies par une intégrale dépendant d’un paramètre. Exemples et applications.2025 |
| 5 | 250 | Transformation de Fourier. Applications.2025 |
| 4 | 235 | Problèmes d’interversion de symboles en analyse2025 |
| 4 | 236 | Illustrer par des exemples quelques méthodes de calcul d’intégrales de fonctions d’une ou plusieurs variables.2025 |
Utilisateur : Mathis Lemay
On peut faire le calcul de la transformée de Fourier de la Gaussienne autrement, en utilisant le théorème des résidus avec un chemin rectangulaire, mais le faire comme ça permet de meilleurs recasages (236,244...)
Il faut savoir justifier que $\gamma_s$ est une approximation de l'unité, et savoir démontrer le théorème sur les approximations de l'unité (même preuve que Fejer).
L'utilisation de Fubini doit être correctement justifiée.
Il faut aussi savoir dire quelques mots sur la non surjectivité : la transformée de Fourier est à image dense (à savoir justifier) mais non surjective (connaître les idées de la démonstration, savoir qu'on utilise le théorème de Banach...)
Voir la version de Tintin au dessus qui est plus jolie car tapée à l'ordi !
Références :
Analyse de Fourier dans les espaces fonctionnels - Mohammed El Amrani
Utilisateur : Tintin
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Références :
Analyse de Fourier dans les espaces fonctionnels - Mohammed El Amrani