Théorème de Lévy et théorème central limite
Le but de ce développement est de démontrer le théorème de Lévy qui est très pratique pour étudier la convergence en loi d’une suite de variables aléatoires.
| Qualité | Numéro | Titre |
|---|---|---|
| 5 | 244 | Exemples d'études et d'applcations de fonctions usuelles et spéciales.2024 |
| 5 | 234 | Fonctions et espaces de fonctions Lebesgue-intégrables.2025 |
| 5 | 235 | Problèmes d’interversion de symboles en analyse2025 |
| 5 | 241 | Suites et séries de fonctions. Exemples et contre-exemples.2025 |
| 5 | 262 | Convergences d’une suite de variables aléatoires. Théorèmes limite. Exemples et applications.2025 |
| 4 | 239 | Fonctions définies par une intégrale dépendant d’un paramètre. Exemples et applications.2025 |
| 4 | 209 | Approximation d’une fonction par des fonctions régulières. Exemples d’applications.2025 |
| 4 | 218 | Formules de Taylor. Exemples et applications.2025 |
| 4 | 261 | Loi d’une variable aléatoire: caractérisations, exemples, applications.2025 |
| 4 | 250 | Transformation de Fourier. Applications.2025 |
Utilisateur : Mathis Lemay
J'ai un peu moins recasé ce développement que Tintin mais je suis d'accord avec lui :
pour la 218 : démontrer d'abord la proposition de la page 3, puis le lemme (il y a une démonstration plus rapide, mais celle-ci met vraiment en évidence l'utilisation des formules de Taylor) puis le TCL
pour 250, 261, 262, 266 : démontrer Lévy et TCL
Ces démonstrations sont tirées du livre de Zuily-Queffelec (vraiment pas terrible pour l'agreg), à défaut de trouver meilleure référence. Il utilise des arguments compliqués pour Lévy, on l'a retravaillé ensemble avec Tintin et on a abouti à cette démo qui semble beaucoup plus digeste. Il faut juste savoir justifier que $\mathcal{C}^{\infty}_c(\mathbb{R})$ est dense dans $\mathcal{C}^{0}_c(\mathbb{R})$ (argument de convolution qui a été coupé sur la première page, si vous ne trouvez vraiment pas, n'hésitez pas à me contacter)
Références :
Analyse pour l'agrégation - Queffelec, Zuily
Utilisateur : Tintin
Lorsque le leçon s'oriente vers les formules de Taylor (209 - 218) il est préférable de démontrer le lemme 3, la proposition 4 et le théorème 5 et dans les autres cas (234 - 235 - 239 - 241 - 244 - 250 - 261 - 262) il vaut mieux démontrer le lemme 1 et les théorèmes 2 et 5.
N'hésitez pas à me contacter si vous constatez ce qui semble être une erreur (typographie, mathématique, etc).
Références :
Probabilités et statistiques pour l'épreuvre de modélisation à l'agrégation de mathématiques - Chabanol, Ruch
Analyse pour l'agrégation - Queffelec, Zuily