Dénombrement des matrices nilpotentes de taille $d \times d$ à coefficients dans $\mathbb{F}_q$
Soit $q=p^n$ avec $p$ premier, $n \in \mathbb{N}^*$. Il s'agit de montrer que le nombre de matrices nilpotentes de taille $d \times d$ à coefficients dans $\mathbb{F}_q$ est $q^{d(d-1)}$.
| Qualité | Numéro | Titre |
|---|---|---|
| 5 | 101 | Groupe opérant sur un ensemble. Exemples et applications.2025 |
| 5 | 156 | Endomorphismes trigonalisables. Endomorphismes nilpotents.2025 |
| 5 | 190 | Méthodes combinatoires, problèmes de dénombrement.2025 |
| 4 | 104 | Groupes finis. Exemples et applications.2025 |
| 4 | 106 | Groupe linéaire d’un espace vectoriel de dimension finie E, sous-groupes de GL(E). Applications.2025 |
| 4 | 123 | Corps finis. Applications.2025 |
Utilisateur : Mathis Lemay
Ce développement n'est pas des plus faciles, il mérite d'être bien travaillé.
Personnellement, je n'avais pas le temps de démontrer le \"lemme de Fitting\" avant, mais il faut tout de même bien connaître sa démonstration ne serait-ce que pour avoir compris ce qu'est une décomposition de Fitting et LA décomposition de Fitting d'un endomorphisme. Cela sert dès le début de la démonstration du théorème.
A la fin, il y a pas mal de calcul qu'on a le temps ou non de faire, l'important c'est le cheminement.
Il faut savoir justifier le cardinal de $\text{GL}_d(\mathbb{F}_q)$ (ça peut tomber aux écrits !)
Références :
Carnet de voyage en Algébrie - Philippe Caldero, Marie Peronnier