Théorème de Cauchy-Lipschitz global

Énoncé dans le cas linéaire : Soit un entier $n\geq 1$, $A : \mathbb{R} \rightarrow \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ et $b : \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}^n$ deux applications continues. Soit $y_0\in\mathbb{R}^n$. Alors le problème de Cauchy suivant : \begin{align}\r \begin{cases}\r y' =A(t)y +b(t) \\\r y(0)=y_0\r \end{cases}\r\end{align}\radmet une unique solution définie sur $\mathbb{R}$ tout entier.\r