Convergence vers la loi de Gumbel
Soit $X$ une variable aléatoire réelle. On dit que $X$ suit la loi de Gumbel (standard) lorsque pour tout $t\in\mathbb{R}$, on a :\r$$F_X(t)=\exp\left(-\mathrm{e}^{-t}\right)$$\r\r\rÉnoncé : Soit $\lambda\in\mathbb{R}_+^*$ et $(X_n)_{n\in\mathbb{N}^*}$ une suite de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées de loi exponentielle $\mathcal{E}(\lambda)$. Posons pour tout $n\in\mathbb{N}^*$ :\r$$M_n=\mathop{\max}_{k\in[\![1,n]\!]}{X_k}.$$\rAlors on a : \r -- $$\frac{M_n}{\mathrm{ln}(n)} \xrightarrow[n \to +\infty]{\mathrm{p.s.}} \frac{1}{\lambda}.$$\r -- $$\lambda M_n- \mathrm{ln}(n) \xrightarrow[n \to +\infty]{\mathcal{L}} Y,$$ où $Y$ est une variable aléatoire suivant la loi de Gumbel. \r\r
| Qualité | Numéro | Titre |
|---|---|---|
| 5 | 263 | Variables aléatoires à densité. Exemples et applications.2018 |
| 5 | 262 | Convergences d’une suite de variables aléatoires. Théorèmes limite. Exemples et applications.2025 |
| 4 | 223 | Suites réelles et complexes. Convergence, valeurs d’adhérence. Exemples et applications.2025 |
| 4 | 224 | Exemples de développements asymptotiques de suites et de fonctions.2025 |
Utilisateur : JBernis
Leçons : 223, 224, 262, 263.
Soit $X$ une variable aléatoire réelle. On dit que $X$ suit la loi de Gumbel (standard) lorsque pour tout $t\in\mathbb{R}$, on a :
$$F_X(t)=\exp\left(-\mathrm{e}^{-t}\
ight)$$
Énoncé : Soit $\lambda\in\mathbb{R}_+^*$ et $(X_n)_{n\in\mathbb{N}^*}$ une suite de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées de loi exponentielle $\mathcal{E}(\lambda)$. Posons pour tout $n\in\mathbb{N}^*$ :
$$M_n=\mathop{\max}_{k\in[\![1,n]\!]}{X_k}.$$
Alors on a :
-- $$\frac{M_n}{\mathrm{ln}(n)} \xrightarrow[n \to +\infty]{\mathrm{p.s.}} \frac{1}{\lambda}.$$
-- $$\lambda M_n- \mathrm{ln}(n) \xrightarrow[n \to +\infty]{\mathcal{L}} Y,$$ où $Y$ est une variable aléatoire suivant la loi de Gumbel.
Référence : Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements, J. et L. Bernis, Ellipses
Références :
Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements - Julien Bernis et Laurent Bernis