Théorème de Chudnovsky

Énoncé : 1. Si $[a,b]$ est inclus dans $]0,1[$ alors l'ensemble des fonctions polynomiales à coefficients entiers est dense dans l'espace vectoriel normé $\left( \mathcal{C} ([a,b]),\|\cdot\|_\infty \right)$ :\r$$\overline{\mathbb{Z}[X]}= \mathcal{C} ([a,b]).$$\r \r2. Toute application $f$ de $]0,1[$ dans $\mathbb{R}$, continue, est limite simple d'une suite de polynômes à coefficients entiers.\r\r\r3. Si $b-a>4$ alors $\mathbb{Z}[X]$ est fermé dans l'espace vectoriel normé $\left( \mathcal{C} ([a,b]),\|\cdot\|_\infty \right)$, autrement dit :\r$$\overline{\mathbb{Z}[X]}= \mathbb{Z}[X].$$