Calcul de $\int_{0}^{\infty} t^{\alpha-1}\operatorname{e}^{it} \, \mathrm{d}t$

Pour $\alpha \in ]0,1[$, on a $$\int_{0}^{\infty} t^{\alpha-1}\operatorname{e}^{it} \, \mathrm{d}t = \Gamma(\alpha)\operatorname{e}^{i\alpha\frac{\pi}{2}}$$\rPour $\alpha = \frac{1}{2}$, sachant que $\Gamma\left(\frac{1}{2}\right) = \sqrt{\pi}$, on retrouve l'intégrale de Fresnel. \r\rLe calcul se fait par l'introduction de deux intégrales à paramètres. On calcule la première en trouvant une équation différentielle, et on montre la continuité de la deuxième en introduisant une suite de fonctions continues qui converge uniformément vers elle.