Théorème de la limite simple de Baire

Soit $X$ un espace de Baire (par exemple un ouvert d'un espace métrique complet) et $Y$ un espace métrique. Soit $(f_n)$ une suite de fonctions continues de $X$ dans $Y$, qui converge simplement vers une fonction $f$ sur $X$. Alors l'ensemble des points de continuité de $f$ est une intersection dénombrable d'ouverts, et est dense dans $X$ (autrement dit, c'est un $G_{\delta}$ dense). En particulier, il est non vide !\r\rCet énoncé s'applique au cas d'une fonction $f: \mathbb R \rightarrow \mathbb R$ dérivable. Puisque sa fonction dérivée est la limite simple de la suite $f_n(x):= n\left( f(x+\frac{1}{n}) - f(x)\right)$, les points de continuité de $f'$ forment une partie dense de $\mathbb R$.