Étude de la convergence d'une suite récurrente

Soient $\alpha$ et $\beta$ deux réels strictement positifs, avec $\alpha + \beta = 1$. Soit $z_0 \in \mathbb C^*$ et considérons la suite $$z_{n+1} = \alpha z_n + \frac{\beta}{z_n}$$\rOn démontre que si $\Re(z_0)=0$, alors la suite est mal définie ou ne converge pas dans $\mathbb C$. Si $\Re(z_0) \ot = 0$, alors la suite est bien définie et converge vers $1$ lorsque la partie réelle est strictement positive, $-1$ si elle est strictement négative.