Théorème spectral et extrema

Soit $E$ un $\mathbb R$-espace vectoriel de dimension finie, et $q,\phi$ deux formes quadratiques sur $E$. On suppose $q$ définie positive. Alors il existe une base $q$-orthonormée et $\phi$-orthogonale. \rDe plus, si dans cette base $\phi$ est représentée par la matrice diagonale dont les coefficients sont les $a_k$, alors ces coefficients sont les valeurs de la fonction $F(x) := \frac{\phi(x)}{q(x)}$ en ses points critiques. \rOn applique cela à la recherche d'extrema d'une fonction qui est rapport de deux formes quadratiques. \r\rNB: La preuve du théorème spectrale est traduite en terme d'un problème d'extremum. Pour l'hérédité, on exhibe un vecteur propre en considérant l'extremum d'une fonction définie sur la sphère unité, puis en la différenciant. \r\rNB2: Il est également possible de démontrer le théorème spectral en utilisant les extrema liés, cf Avez.