Série génératrice d'une variable aléatoire et moments

Soit $X$ une variable aléatoire à valeurs dans $\mathbb N$, et soit $G_X$ sa série génératrice. Alors $X$ est d'espérance finie si et seulement si $G_X$ est dérivable à gauche en $1$, et dans ce cas nous avons l'égalité $G_X'(1) = \mathbb E[X]$. \r\rNous appliquons cela au calcul du temps d'attente moyen avant deux succès consécutifs lors d'une suite de jeux de pile ou face où chaque lancer est indépendant des autres.