Etude de la convergence faible dans L^1(N)

Soit $u \in \ell^1(\mathbb{N})$ et $(u_n)_{n\in \mathbb{N}}$ une suite d'éléments de $\ell^1(\mathbb{N})$. Alors: $(u_n)_{n\in \mathbb{N}}$ converge vers $v$ dans $\ell^1(\mathbb{N})$ si et seulement si $(u_n)_{n\in \mathbb{N}}$ converge faiblement vers $u$.