La fonction de Fabius : une fonction C^infini et non-analytique

On montre que si $(U_i)_{i\in\mathbb{N}^*}$ sont des variables aléatoires i.i.d. de lois uniformes sur $[0,1]$, alors la fonction de répartition de $\sum_{i=1}^{\infty} \frac{U_i}{2^i}$, restreinte à l'intervalle $[0,1]$, est de classe $C^\infty$ mais n'est analytique en aucun point.