Déterminant de Cauchy par deux méthodes

Soient $(\alpha_1,…,\alpha_n), (\beta_1,…,\beta_n) \in \mathbb{C^n}$ tels que $a_i+b_j \eq 0, \forall i,j$ . \r\rAlors : \r\r$$\r\det(\dfrac{1}{\alpha_i+\beta_j}) = \dfrac{\Pi_{i<j}(\alpha_j-\alpha_i)(\beta_j-\beta_i)}{\Pi_{i,j}(\alpha_i+\beta_j)}\r$$\r\r\rOn fait \r1. par récurrence et bidouille sur la matrice\r2. Méthode similaire à Vandermonde avec des fractions rationnelles