Densité des polynômes orthogonaux et contrexemple
Théorème: Soit $I\subset{\mathbf{R}}$ intervalle, $\rho$ fonction poids telle que: $\exists a>0, \int_I e^{a|x|} \rho(x) dx < \infty$.\rAlors: la famille des polynômes orthogonaux associés à $\rho$: $(P_n)_{n\in\mathbf{N}}$ forme une base hilbertienne de $L^2(I;\rho)$.\r\rContrexemple: L'hypothèse sur $\rho$ est vitale.\rSoit $w: ^{\mathbf{R}^*_+ \to \mathbf{R}}_{x \mapsto x^{-ln(x)}}$.\rAlors: la famille des polynômes orthogonaux associés à $w$: $(P_n)_{n\in\mathbf{N}}$ ne forme pas une base hilbertienne de $L^2(I;\rho)$.
| Qualité | Numéro | Titre |
|---|---|---|
| 5 | 213 | Espaces de Hilbert. Exemples d’applications.2025 |
| 5 | 245 | Fonctions holomorphes et méromorphes sur un ouvert de C. Exemples et applications2025 |
| 5 | 207 | Prolongement de fonctions. Exemples et applications.2022 |
| 5 | 234 | Fonctions et espaces de fonctions Lebesgue-intégrables.2025 |
| 5 | 201 | Espaces de fonctions. Exemples et applications.2025 |
| 4 | 250 | Transformation de Fourier. Applications.2025 |
| 4 | 235 | Problèmes d’interversion de symboles en analyse2025 |
| 4 | 239 | Fonctions définies par une intégrale dépendant d’un paramètre. Exemples et applications.2025 |
Utilisateur : Jouaucon
Développement qui se recase un peu partout qui utilise beaucoup de notions différentes consistant d'un théorème et d'un contrexemple.
Résultats satellites:
1. Inégalité de Hölder
2. Développement en série entière des fonctions holomorphes
3. Théorème de prolongement analytique
4. Injectivité de la transformée de Fourier
5. Tout espace de Hilbert séparable admet une base hilbertienne dénombrable
Développement n°3 sur 28.
Pour une version de rekasator qui marche aller sur: https://docs.google.com/document/d/1vnBvwVGapXvQC4cU5CHUJWo04E4eezzDSjSIDRekaPE
Références :
Objectif Agrégation - Beck, Malick, Peyré