Théorème de simplicité d'Iwasawa

Soit $G$ agissant sur $X$ (de cardinal au moins $2$) fidèlement et doublement transitivement (i.e. : l'action de $G$ sur $X\times X$ a deux orbites : la diagonale et le reste). On suppose :\r- $G$ est engendré par ses commutateurs ;\r- pour un $x\in X$, le stabilisateur $G_x$ contient $K$ abélien distingué dans $G_x$ tel que $\{gkg^{-1}, g \in G, k \in K\}$ engendre $G$. \rAlors $G$ est simple.