Indicateur de Frobenius-Schur

Soit $\rho : G \to \text{GL}(V)$ une représentation irréductible. On montre l'équivalence entre :\r(i) $\chi=\text{tr}(\rho)$ est réel\r(ii) $\rho$ fixe une forme bilinéaire non nulle sur $V$\r(iii) $\rho$ fixe une forme bilinéaire non dégénérée sur $V$\r\rPuis, dans le cas où (i) est réalisé, on montre l'équivalence entre \r1) $\rho$ se réalise sur $\mathbf R$ (ie $\rho$ fixe un $\mathbf R$-espace vectoriel de dimension $\dim(V)$)\r2) $\rho$ fixe une forme symétrique non nulle\r2') $\rho$ fixe une forme symétrique non nulle\r3) $I=\frac{1}{|G|} \sum_{g \in G} \chi(g^2)=1$. \r\rNB : il n'est pas possible de tout faire en 15 min