Calcul analytique de la somme quadratique de Gauss

On calcule $$\tau_n=\sum_{x \in \mathbf Z/n\mathbf Z} \zeta^{x^2}$$ (où $\zeta=\exp(\frac{2i \pi}{n})$)\rOn trouve : $$\tau_n = \frac{1+i^{-n}}{1+i^{-1}} \sqrt{n}$$\r\rLe calcul se fait en reconnaissant la somme comme la valeur d'une fonction, et de calculer cette valeur en utilisant les séries de Fourier et le théorème de Dirichlet.\rAu passage, on détermine la valeur de l'intégrale de Fresnel : \r$$\int_0^{\infty} \exp(2i \pi x^2) \mathrm dx$$