Convergence en loi de variables aléatoires discrètes
Théorème :\rSi $X$ et $(X_n)_{n \in \mathbb{N}}$ sont réelles et à valeurs dans un même ensemble dénombrable $A = \{x_k ; k \in K\}$ discret (dont tous les points sont isolés), alors $X_n \stackrel{Loi}{\longrightarrow} X$ si et seulement si pour tout $k\in K$, $\mathbb{P}(\{X_n = x_k\} ) \longrightarrow_{n \to \infty} \mathbb{P}(\{X = x_k\})$.\r\rApplication :\rSoit $X_n$ des variables aléatoires de loi binomiale de paramètres $n$ et $p_n$ tels que $np_n \longrightarrow_{n \to \infty} \lambda$. Alors $X_n$ converge en loi vers la loi de Poisson de paramètre $\lambda$.
| Qualité | Numéro | Titre |
|---|---|---|
| 5 | 262 | Convergences d’une suite de variables aléatoires. Théorèmes limite. Exemples et applications.2025 |
| 5 | 264 | Variables aléatoires discrètes. Exemples et applications.2025 |
| 4 | 261 | Loi d’une variable aléatoire: caractérisations, exemples, applications.2025 |
Utilisateur : Marstelle
*Mes développements n’ont pas été pensés pour être partagés au départ, vous excuserez mon écriture et mes notations un peu brouillonnes. Soyez vigilants sur les coquilles/erreurs possibles et critiques sur ce que vous lisez. N’hésitez pas à me contacter pour des clarifications.
*La plupart de mes dévs contiennent un plan et un rappel des énoncés, pour être au clair sur ce qu’on a à disposition et ce qu’on veut faire.
*Les recasages inscrits sur le document sont les numéros de 2023/2024.
Je ne fais pas l'application mais démontre à la place un autre critère sur les fonctions génératrices. Le développement est adapté pour une définition de la convergence en loi avec les espérances et les fonctions continues bornées.
Références :
Probabilités pour les non-probabilistes - Walter Appel
Utilisateur : EWna
Recasages: 261, 262, 264
Page 59 (sauf un point)
Le Chabanol-Ruch le fait pour des variables à valeur dans $\mathbb{Z}$, je l'ai écrit pour le cas discret quelconque. Finalement, je pense qu'il vaut mieux l'écrire dans le cas de $\mathbb{Z}$ car c'est, disons, plus visuel, et les $\varepsilon$ sont plus facile à choisir; et surtout, modulo une numérotation, c'est exactement la même chose...
Rekasator alternatif (test exhaustif cherchant la plus petite quantité sans prendre en compte la qualité) + tableur pour le suivi des leçons: https://sites.google.com/view/ospoam/accueil
Références :
Probabilités et statistiques pour l'épreuvre de modélisation à l'agrégation de mathématiques - Chabanol, Ruch
Utilisateur : Golaretuf
L’énoncé du premier théorème est tout à fait naturel, et cela fait un résultat facile à démontrer. L’ajout de l'application (classique) le complète bien et le rend un peu plus ”recasable”. Je ne sais pas si c'est suffisamment intéressant pour faire un \"bon\" développement mais ça peut combler.
Rappel : attention aux erreurs/typos possibles et à la pertinence des développements, c'est à vous de vérifier et de juger.
Références :
Probabilités pour les non-probabilistes - Walter Appel