Théorème de Brouwer par le logarithme

On montre deux résultats, dont le second est une application du premier.\r i) Soit $K$ un compact de $\mathbb R^d$ étoilé par rapport à $0$. Toute fonction $f \in \mathcal C(K, \mathbb C^*)$ admet un logarithme continu, i.e. il existe $g \in \mathcal C(K, \mathbb C)$ telle que $f = \exp(g)$.\r\r ii) Dans $\mathbb R^2$, toute application continue de la boule unité dans elle-même admet un point fixe.