267 - Exemples d’utilisation de courbes en dimension 2 ou supérieure.2023

Rapport du jury 2022

Cette leçon de synthèse a pour objectif de mettre en évidence la variété et la richesse des interventions et des utilisations des courbes en mathématiques. Le programme fournit au candidat de multiples angles d'attaque pour aborder cette leçon : géométrie (arcs paramétrés, études métriques, etc.), topologie (connexité par arcs), calcul différentiel (lien entre les différentes définitions d'une courbe, courbes définies comme intersection de deux surfaces, espace tangent), équations différentielles (tracé de trajectoires d'un système différentiel autonome plan), analyse complexe (intégrale curviligne, indice, théorème des résidus, etc.).\r\rLes candidats solides pourront s'intéresser à l'homotopie, à la simple connexité, au théorème de Jordan, aux problèmes isopérimétriques, à la méthode du col en analyse asymptotique, à des exemples de\rcourbes de Peano ou fractales.

Rapport du jury 2020

Cette leçon de synthèse doit permettre de montrer la variété d’utilisation des courbes dans le plan (ou, dans une perspective plus ambitieuse, de courbes tracées sur un objet géométrique plus élaboré), que celles-ci soient définies sous une forme paramétrique ou une sous forme implicite. Plutôt qu’une théorie générale ou un catalogue de formules relatives à divers systèmes de coordonnées qui seraient donnés sans motivation, le jury attend plutôt une illustration des applications des courbes planes en topologie, en calcul différentiel, en géométrie ou en analyse complexe à partir d’exemples et de résultats pertinents. Il s’agit d’un sujet suffisamment riche qui permet d’aborder des points de géométrie intéressants tout en restant à un niveau mathématique raisonnable. Cette leçon doit présenter différents aspects de l’utilisation des courbes : on ne pourra se contenter d’un seul. La liste qui suit, qui n’est pas exhaustive, présente plusieurs pistes. $\\$ Les propriétés métriques des courbes planes (longueur d’arc, voire courbure) font naturellement partie de cette leçon. Un axe de cette leçon pourrait concerner l’obtention du tracé des courbes et l’étude de mouvements ponctuels dans le plan, qu’ils soient donnés sous forme de lieux (coniques, cycloïdes diverses, etc) ou de solutions d’équations différentielles (par exemple inspirés de problème de mécanique du point, comme le mouvement à deux corps et les lois de Kepler). On peut également penser à l’utilisation d’intégrales premières en vue de l’analyse des solutions de systèmes d’équations différentielles ordinaires (périodicité du mouvement d’un pendule pesant, de solutions du système de Lotka–Volterra, méthode des caractéristiques pour la résolution d’équations de transport, etc.). Il est important que les exemples de tracés de courbes soient motivés. $\\$ L’application des courbes planes à la topologie est un point qui peut illustrer naturellement cette leçon : le concept de connexité par arcs, le théorème du relèvement ainsi que la notion d’indice d’un lacet par rapport à un point en lien avec le théorème intégral de Cauchy en analyse complexe... sont des sujets d’investigation pertinents pour cette leçon. Pour aller plus loin, cette leçon peut être l’occasion de s’attarder sur ces techniques d’analyse complexe ainsi que sur les divers résultats qui y sont liés comme par exemple, la formule des résidus, l’existence d’une primitive complexe,voire la méthode du col pour l’obtention de développements asymptotiques, l’étude de certaines transformations conformes (comme la transformation de Joukovski) et leurs applications... Pour les candidats qui le souhaitent, il est enfin possible de développer quelques aspects de géométrie des surfaces en parlant par exemple de vecteurs tangents, de géodésiques sur la sphère ou encore d’extrema liés.