Utilisateur : Marvin

A mettre dans le plan, ou à mentionner: Théorème de Wantzel sur les nombres constructibles, irréductibilité des polynômes cyclotomiques, et le fait que ces derniers sont à coefficients rationnels (en fait entiers, mais rationnels suffit). Remarque: je préconise de mettre sous la forme de plusieurs lemmes la fin du développement, qui serait un peu trop long sinon. J'ai travaillé avec la version de l'Isenmann, mais le Carréga le fait aussi (de façon un peu moins compréhensible je trouve).

Je conseille d'avoir précisé dans le plan tout ce qui est question de codiagonalisation (ce qui rends la démonstration plus souple). Je déconseille aussi de mettre ce dev dans la leçon sur les exponentielles de matrices, sans une bonne raison (car en tant que tel, le gros de la preuve est Dunford ...). J'ajoute à la fin une petite remarque sur la décomposition de Dunford de l'exponentielle de matrice, si par hasard vous souhaitez vraiment mettre ce dev dans cette leçon.

Je n'ai pas trouvé de références intéressante sur le sujet. Néanmoins, le développement n'est pas trop dur, donc ce n'est pas très grave.

Algorithme du gradient à pas optimal appliqué à la fonctionnelle quadratique. Je préconise de connaître (un peu) l'algorithme du gradient général sur les fonctions fortement convexes. Je préconise aussi de connaître un minimum l'algorithme du gradient conjugué, qui est une version similaire, mais plus forte, du gradient à pas optimal. Voir \"Analyse numérique et optimisation\" de Allaire pour plus de détails. Attention si vous voulez mettre ce dev dans 229 et 253 ! La convexité n'apparaît que dans le lemme de Kantorovitch ...

Prérequis: critère d'holomorphie pour les produits de fonctions holomorphes. Contrairement à d'autres versions, je démontre que Gamma s'étends de façon méromorphe sur C VIA la formule de Weierstrass. Mais il y a beaucoup plus simple (à l'aide des IPP), qu'on peut rajouter, mais cela rallonge le développement déjà assez long ...

Merci à Nicolas pour les accolades de la matrice de ses morts qui furent embêtantes à mettre.

ATTENTION: je me permet de dire que la version de AA comporte une erreur. La suite n_k construite dans sa version dépends de epsilon ... On trouve certes après ||f_nk - f_nk'|| < epsilon pour k et k' grands, mais seulement pour ce epsilon ... C'est le contraire qu'il faut ! Trouver une extractrice (n_k) telle que, pour tout epsilon, pour k et k' assez grand, ||f_nk - f_nk'|| < epsilon. En particulier, le procédé d'extraction diagonale est obligatoire.

Attention ! Ce n'est pas le théorème spectral qu'il faut appliquer pour montrer la connexité par arcs ... Plus de détails à la fin de ce document.

Dans cette version, on admet les résultats sur les carrés (notamment le fait que -1 est carré modulo p ssi p=2 ou p=1 mod 4).

Il est préférable de connaître aussi l'image de l'exponentielle matricielle réelle (voir les remarques).

Inclus la preuve de certains résultats sur les polynômes cyclotomiques, pour rentrer dans le temps.

Je vous conseille de ne pas écrire les détails que vous pouvez dire à l'oral, afin de bien rentrer dans les 15 minutes.

Un développement qui a priori fait peur, mais qui n'utilise pas vraiment de choses très difficiles ! C'est juste l'astuce du futur dans toute sa splendeur ... Comment il a trouvé ça, Berlekamp ?!

Ma preuve englobe le cas R ou C, à vous d'adapter en fonction de la leçon, du contexte.

Dans cette version, je démontre la caractérisation \"du\" projeté avant de démontrer l'unicité.

Ma version n'utilise pas de dénombrement, juste quelques petites astuces visant à transformer une permutation et à obtenir un 3-cycle dans le groupe distingué. Pas exactement fait comme ça dans le Rombaldi, mais très similaire.

La preuve utilise une intégrale première, afin de parler de monotonie de fonctions dérivables et de courbes, permettant de mettre ce développement dans les leçons 229 et 267.

Plan présenté le jour J.

Plan qui ne va pas très loin sur les coniques, mais à mon avis ce n'est clairement pas le coeur de la leçon. Il faut juste au moins les mentionner, car c'est tout de même une application remarquable des formes quadratiques.

Un plan que je n'aime pas, personnellement (d'ailleurs ce fut, après réflexion, mon impasse en algèbre). Mais après avoir zieuté d'autres plans, je ne vois pas vraiment comment l'améliorer.

Il est préférable d'ajouter le fait que l'ensemble des réels constructibles est un corps stable par racine carrée, que j'ai oublié dans le plan mais qu'on utilise.

La partie sur les bases hilbertiennes peut être retirée.

Un cochon unijambiste aurait mieux écrit que ça, mais la leçon demande beaucoup de rigueur dans l'ordre des propositions et définitions ...

Le plan est vigoureusement contestable. J'ai décidé de ne pas suivre la classification réelle des EDP. En particulier, j'ai mis l'équation de la chaleur et l'équation de Schrödinger ensemble, les deux EDP étant très similaires par leur méthode de résolution ... ... mais il est important de remarquer que les solutions ont des propriétés très différentes malgré ce petit facteur i !

Leçon assez difficile par sa simplicité ... J'ai, au cours de l'année, remplacé la troisième partie par l'exemple remarquable des suites récurrentes, afin de renforcer le côté \"exemple\", et en même temps applications puisqu'on utilise beaucoup les suites récurrentes pour la résolution d'équations notamment.

J'ai remplacé le théorème de réarrangement de Riemann (certes très rigolo) par le théorème d'Abel angulaire et le théorème taubérien faible.

J'ai fais une dernière sous-partie sur l'espace L² à poids pour remplacer Fourier-Plancherel par les polynômes orthogonaux.

Mon plan a pour fil rouge l'étude de la fonction Gamma d'Euler. On en vient alors à étudier l'exponentielle, et donc les puissances, ce qui implique de passer par les logarithmes ... En particulier, il est à noter que mon plan est tourné vers de l'analyse complexe (ce qui peut ne pas être au goût de tout le monde). Leçon très intéressante, et pas si difficile que ça !

Il est important de tourner votre leçon autour de l'*utilisation* des courbes !

Leçon assez étrange, par son côté bateau. Mais elle se fait bien.

Une leçon un peu effrayante de prime abord, mais peut au contraire toucher beaucoup de choses pas très compliquées dans les maths.

Mes excuses pour l'écriture, ce fut mon premier plan.

Attention aux résultats de première année qu'il faut maîtriser ...

La dernière partie ne me plaît pas vraiment ... Elle constitue une sorte de \"Applications\".

Leçon plus rigolo qu'on ne le croit !

Leçon assez boudée, mais pas si difficile que ça dans le fond. Ce sont juste des cas particuliers d'actions de groupe avec lesquels on peut faire un peu plus de choses !