222 - Exemples d'études d'équations différentielles linéaires et d'équations aux dérivées partielles linéaires.2022

Rapport du jury 2019

Cette leçon peut être abordée en faisant appel à des techniques variées et de nombreux développements pertinents peuvent être construits en exploitant judicieusement les éléments les plus classiques du programme. Le candidat ne doit pas hésiter à donner des exemples très simples (par exemple les équations de transport). $\\$ Les techniques d’équations différentielles s’expriment par exemple pour traiter $\lambda u- u\" = f$ sur $[0,1]$ avec des conditions de Dirichlet en $x=0$, $x=1$ ou pour analyser l’équation de transport par la méthode des caractéristiques. Les séries de Fourier trouvent dans cette leçon une mise en pratique toute désignée pour résoudre l’équation de la chaleur dans différents contextes, l’équation des ondes ou de Schrödinger dans le cadre des fonctions périodiques. Des raisonnements exploitant la transformée de Fourier peuvent également être présentés. Le point de vue de l’approximation numérique donne lieu à des développements originaux, notamment autour de la matrice du Laplacien et de l’analyse de convergence de la méthode des différences finies. $\\$ Pour aller plus loin, la notion de solution faible d’équations aux dérivées partielles linéaires peut également être présentée, avec des applications à la résolution des équations de Laplace, de la chaleur, des ondes, ou de l’équation de transport. Des développements sophistiqués se placeront sur le terrain de l’analyse hilbertienne avec par exemple l’application du théorème de Lax–Milgram voire la décomposition spectrale des opérateurs compacts dans un espace fonctionnel approprié.