Équation de Schrödinger dans S(R)

Soit $f\in \mathcal{S}(\mathbb{R})$. Il existe une unique fonction $u$ vérifiant\r\[\forall x,t\in\mathbb{R}, \quad \frac{\partial u}{\partial t}(x,t)=i\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}(x,t),\]\rtelle que $u(.,0)=f$ et telle que pour tout $T>0$, pour tout $k,l\geq 0$,\r\[\sup_{|t|< T}\sup_{x\in\mathbb{R}}\left|x^k\frac{\partial^l}{\partial x^l}u(x,t)\right|<+\infty.\]