Résolution d'une EDPE

Énoncé : Soit $f\in\mathbb{L}^2([0,1],\mathbb{R})$, $\alpha \in \mathbb{L}^{\infty}([0,1],\mathbb{R})$ et $\beta\in\mathcal{C}^1([0,1],\mathbb{R})$. On suppose que : -- Il existe $\alpha_{\mathrm{min}}\in\mathbb{R}_+^*$ telle que, pour $\lambda-$presque tout $x\in[0,1]$, on ait $\alpha_{\mathrm{min}}\leq \alpha(x)$, -- Pour tout $x\in [0,1]$, $\beta'(x)\leq 2$. Alors il existe un unique élément $u$ de $H_0^1(]0,1[,\mathbb{R})$ qui soit solution, au sens des distributions, du problème : \begin{equation} -(\alpha u')'+\beta u' + u = f \end{equation} Référence : Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements, J. et L. Bernis, Ellipses