107 - Représentations et caractères d’un groupe fini sur un C-espace vectoriel. Exemples.2021

Leçon choisie : 1162

Autre leçon : Endomorphismes diagonalisables en dimension finie.2025

Développement choisi par le jury : Table de caractères des groupes non abéliens d'ordre 8

Autre développement proposé : Pas de réponse fournie.

Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :
Sur le développement : On m'a demandé de détailler pour quelle raison un groupe $G$ dont le quotient par le centre est cyclique, est nécessairement abélien. Sur le plan : Commentaires sur la table de caractères de $\mathbb Z/n\mathbb Z$. Ils attendaient que je dise qu'il s'agit d'une matrice de Vandermonde. Je n'ai pas su l'interpréter cependant, mais nous sommes passés à autre chose. Démontrer que le groupe dual de $\mathfrak{S}_n$ est d'ordre $2$ (ie on ne trouve que la signature et le caractère trivial) pour $n\geq 2$. Expliquer l'identité $\mathcal L(E,F)^G = \operatorname{Hom}_G(E,F)$. Comment démontrer qu'une représentation est irréductible ? (On calcule la norme du caractère associé) Illustrer ce principe avec la représentation standard de $\mathfrak{S}_5$. Peut-on lire des informations sur la table de caractère d'un groupe ? (Oui, on peut repérer les sous-groupes distingués. On ne m'a pas demandé de preuve mais juste d'expliquer, et d'illustrer sur un exemple) Commentaires sur le théorème de Maschke : comment marche-t-il ? Est-il encore vrai dans d'autres contextes (ie on quitte $\mathbb C$). Pas d'exercice à proprement parler. Sur les cinq dernières minutes, on est partis en terre inconnue sur ce qu'on pourrait dire de représentations de groupes infinis. On m'a demandé de donner des exemples de représentations de $SO_2(\mathbb R)$ (abélien, on s'attend à ce que les irréductibles soient de degré $1$) et de $SO_3(\mathbb R)$. C'était des questions assez informelles sur la toute fin.

Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?
Jury très agréable et souriant. J'ai été surpris par les questions qui m'ont été posées: toutes portaient sur le plan, aucun exercice, et des questions assez ouvertes. On m'a plus souvent demandé si je connaissais un résultat plutôt que si j'en connaissais la preuve.

L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.

Note obtenue : 20.0

Leçon choisie : 1162

Autre leçon : Formes quadratiques réelles. Coniques. Exemples et applications.2025

Développement choisi par le jury : Sous-groupes distingués et tables de caractères

Autre développement proposé : Pas de réponse fournie.

Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques) :
Aucune question sur le plan ou le développement. On m'a par contre demandé de mettre en application le théorème pour déterminer les sous-groupe distingués de S4. Puis le jury est parti assez loin dans les questions, on a dérivé sur les transvections...

Quelle a été l'attitude du jury (muet/aide/cassant) ?
Un des jurés a presque monopolisé la parole en posant quasiment toutes les questions (la seule femme du jury n'en a posé aucune). Le jury m'alimentait en permanence de questions, de sorte que je ne reste pas sans rien faire au tableau même quand je ne trouvais pas les réponses. L'expérience était vraiment positive, même si la note n'était pas très bonne à l'arrivée.

L'oral s'est-il passé comme vous l'imaginiez ou avez-vous été surpris par certains points ? Cette question concerne aussi la préparation.
Un peu surpris qu'il n'y ait pas de questions sur le plan ou le développement. J'avais à disposition un tableau blanc (velleda).

Note obtenue : 8.0