Utilisateur : 20-sided dice

Version un peu plus forte que Dunford usuel : d et n sont des polynômes en f. Comme c'est un développement ultra classique, je conseille d'ajouter le commentaire sur les conséquences de la décomposition de Dunford dans l'étude de l'exponentielle de matrices (A est diagonalisable ssi e^A l'est), notamment son injectivité. Mais ça rend les choses compliquées en terme de temps.

La seule difficulté est de se rappeler du changement de variable dans le calcul de s(1)^2. Celui que j'utilise n'est pas la seule possibilité mais il faut se rappeler de celle choisie. Il faut s'attendre à une question de calcul concret de symbole de Legendre pour voir l'utilité de ce résultat. (p153)

La rédaction du Gozard est assez minimaliste et est (je trouve) très bien complétée par les explications de Marie. Je me suis permis de réécrire ce développement avec ma propre rédaction en corrigeant une petite coquille de Marie (stabilité de L par addition), et en espérant ne pas en avoir ajouté. Le développement est trop court sans les corollaires, qui ne doivent pas être placés juste après le théorème dans le plan car on a besoin du fait que $\mathbb{F}_q^*$ est cyclique.

Je me suis permis d'écrire les détails de ce que je pense que les auteurs avaient en tête quand ils écrivent qu'il suffit de changer pour une base où A est triangulaire. (p160)

Je ne démontre qu'une implication (mais je crois que c'est ce que tout le monde fait). J'avoue avoir eu la flemme d'écrire la toute fin de la démonstration où on montre que les p_i sont des nombres de Fermat car la preuve est classique (mais à savoir !). (pp48-51)

Long développement. Il ne faut pas faire le détail du changement de variable au tableau si on veut espérer le faire en 15 minutes. (p249)

Ce développement se recase dans de nombreuses leçons ! (p112)

La complétion de la dernière ligne peut se faire par orthogonalité des colonnes ou des lignes. Il faut commenter la fin du développement par la liste exhaustive des sous-groupes distingués de $S_4$, intersections des noyaux des caractères irréductibles : $\{\text{Id}\},~\{\text{Id};(1~2)(3~4);(1~3)(2~4);(1~4)(2~3)\}$ et $S_4$

Il faut aller vite et bien se rappeler de quelles actions sont utiles dans la démonstration pour la faire tenir en 15 minutes. (p18)

Je ne garantis pas que les choix de notations du livre (que j'ai reprises à quelques détails près) soient les plus indiqués pour réussir à bien voir le chemin de la démonstration et éviter les confusions.

Exemple d'utilisation des séries entières dans la résolution de problèmes combinatoires. (p12)

Je ne démontre que la partie existence, en passant par la notion de bidual. Par ailleurs, j'utilise comme définition de l'exposant \"le maximum des ordres des éléments du groupe\". Cette définition est équivalente avec la définition de l'exposant comme le ppcm des ordres dans le cas des groupes abéliens (cette équivalence doit être démontrée dans le plan). (p252)

Je reprends la méthode de Mathieu Dutour. Ce développement est très long mais on gagne un peu de temps en argumentant la régularité de $\lambda$ sans en donner l'expression explicite en invoquant le théorème des fonction implicites et le fait que $\lambda(x)$ est racine simple d'un polynôme. Il faut donner beaucoup d'explications à l'oral sans trop détailler et/ou sauter des points pour réussir à faire le développement en 15 minutes.

(p180)

Développement classique pas très difficile. Je me suis permis de réécrire avec ma rédaction la méthode de Marie.

Résultat facile à énoncer avec une démonstration sans calcul compliqué. Tout pour plaire quoi. Plus sérieusement, le raisonnement est quand même un peu compliqué et repose sur ce lien surprenant entre la topologie de SO3(R) et sa structure de groupe. (p67)

J'aime cette version qui ne s'intéresse qu'aux théorèmes préliminaires de convergence mais ce sont ceux-là qui permettent de justifier la convergence de méthodes comme Jacobi ou Gauss-Seidel. En tout cas c'est assez clairement expliqué dans Schatzman. D'ailleurs la démonstration originelle dans Schatzman comporte des erreurs que je pense avoir réussi à corriger. Il faut conclure une présentation de ce développement par un commentaire sur la convergence d'au moins une méthode itérative. (p265)

Développement pas très compliqué mais il faut se méfier parce qu'il y a un peu de calcul quand même. (p156)

Développement très classique (p76)

Exemple pratique de construction de fonction continue partout dérivable nulle part. Développement original pas très difficile (même s'il faut faire attention à pas se perdre) mais je le trouve difficilement recasable. (p84)

Le développement est trop long pour être fait en détails en entier. Il faut choisir les parties à faire en détails selon la leçon présentée. (pp222-229)

Ce développement est un peu long donc il ne faut pas hésiter mais il se fait sans trop de problème en 15 minutes. Pour le recaser dans les leçons 122 et 142, il faut insister sur les utilisations implicites de la principalité de $K[X]$ dans la démonstration (identité de Bézout, décomposition en facteurs premiers d'un polynôme). (p224)

p344

Exemple d'utilisation des séries entières pour résoudre des équations différentielles. La dernière partie sur la preuve de la formule intégrale étant juste une vérification par le calcul qu'elle vérifie l'équation, elle peut être abrégée si on manque de temps.

Le plus difficile est encore de se souvenir de tous les points du lemme et de leurs démonstrations respectives. (p5)

L'intérêt de cette inégalité est son corollaire qui est une version alternative de la loi forte des grands nombres où on ne suppose rien sur la loi des $X_i$. L'indépendance et la borne suffisent pour garantir la convergence presque sûre. (p127)

J'aime bien ce développement un peu original qui utilise les séries de Fourier pour résoudre un problème purement géométrique. En plus l'étude métrique des courbes (notamment la notion de paramétrisation naturelle) est pas du tout un thème obligatoire à présenter à l'agreg, même dans la leçon 267. (p103)

Développement original qui permet de justifier la convergence en loi de $\mathcal{B}\left(n,\frac{\lambda}{n}\ ight)$ vers $\mathcal{P}(\lambda)$ avec une borne de l'erreur. L'inconvénient c'est qu'il faut apprendre la loi du couplage par cœur. Le Garet Kurtzman n'a pas exactement la même rédaction. Pour faire court, le livre part des lois marginales au lieu de partir de la loi du couple. Mais j'avoue ne pas avoir vérifié que la méthode de bakouche (que je me suis permis de réécrire ici) rebouclait bien avec ce qui est écrit dans ce livre. (pp 214, 450)

Ce développement permet d'exposer de nombreuses méthodes de calculs d'intégrales. Il est donc particulièrement pertinent dans les leçons correspondantes. Par contre il est un peu long. (p165)

Les calculs ne sont pas très longs mais en ayant une rédaction soignée, on arrive à bien montrer que la convergence n'est assurée que si $x_0$ est suffisamment proche du point d'annulation de $f$. Mais dans ce cas, on a aussi un contrôle sur la vitesse de convergence. C'est pourquoi en pratique on commence par utiliser une méthode moins forte comme la dichotomie avant d'utiliser Newton.

Soit $f :\mathbb{R}^{+*}\ ightarrow\mathbb{R}^{+*}$ logarithmiquement convexe telle que $f(1)=1$ vérifiant l'équation fonctionnelle $$\forall x>0,~f(x+1)=x\cdot f(x).$$ Alors $$f=\Gamma.$$ Il est de renverser le plan de démonstration : montrer l'existence puis l'unicité, et déduire le lemme de l'unicité. Mais le lemme permettait de rajouter de la matière dans le développement. Il est possible de démontrer que $\Gamma$ est logarithmiquement convexe directement avec l'inégalité de Hölder, sans dérivation. On peut conclure le développement par un tracé approximatif de $\Gamma$ sur $\mathbb{R}^{+*}$ à l'aide de ses valeurs sur les entiers et de sa convexité. Le théorème permet intuitivement de justifier que ce tracé approximatif n'est pas très éloigné de la courbe exacte.

(p321)

Je ne démontre que le critère pour $p$ premier mais je justifie l'isomorphisme $$\mathbb{Z}[X]/(X^2+1)/(p)\simeq \mathbb{Z}[X]/(p)/(X^2+1).$$

Comme cette leçon fait partie de mes impasses, je me suis contenté de faire un plan contenant les notions abordées sans tenir compte des exigences dans le rapport de jury (exemples et applications !!)

Je recommande fortement le Gozard qui est très agréable à suivre pour cette leçon et très complet.

Le De Koninck Mercier est un livre qui donne envie de faire de l'arithmétique.

Arnaudiès Fraysse pour la construction de Z/nZ De Koninck Mercier pour l'arithmétique Perrin pour les applications sur les polynômes Une fois que ces 3 références sont trouvées et utilisées, cette leçon devient bcp plus agréable à faire

Leçon courte mais il y a un peu de travail : la surjectivité de exp n'est pas un résultat trivial !

Leçon plus difficile à faire qu'il n'y paraît. Grifone est très bien à suivre (même s'il faut parfois le compléter, avec Gourdon notamment) mais pas de manière linéaire.

Suivre le Tauvel permet de suivre linéairement le livre sans trop se poser de questions, à quelques détails près.

Ce plan est divisé selon la structure de l'ensemble sur lequel le groupe agit.