Enveloppe convexe de On(R)

Mes documents sont longs, déjà parce que je parle vite (donc il faut beaucoup de contenus), que j'écris gros, et que j'aime bien comprendre dans les détails, mais aussi et surtout parce qu'il y a beaucoup de remarques/infos à la fin, pour essayer d'être capable de répondre au max de questions liées au dev ! Evidemment, il est fort possible qu'il y ait des coquilles de ci de là, n'hésitez pas à me les signaler ! (Bon courage !)

Résultat plutôt mignon ! Je pense que c'est un développement qui peut amener des questions assez dures (on utilise Hahn-Banach affaibli, des résultats en tout genre sur On(R) etc.) donc je le qualifierai de développement plutôt dur. Je le prends pour les leçons 159, 161 et 181. On trouvera la preuve aux alentours de la page 344 du Szpirglas et on utilise le théorème I.7 du Brézis (pour Hahn-Banach).

Ma version reprend les références, mais elle reste quand même très différente. En fait, j'ai travaillé le développement à l'aide des références, puis j'ai enlevé les arguments qui ne servaient pas. Au final, j'ai conservé une trame de preuve similaire, mais les détails diffèrent par moments. C'est un développement particulier à travailler avec soin, de mon point de vue. Et aussi, j'ai un peu plus détaillé certains passages passés sous silence par les références. Attention aux coquilles.

Recasages : 151,159,160,161,181,253 Lien direct vers le fichier : https://file.notion.so/f/s/1dcb3b75-ab4b-463c-b94b-d19aa384f9ba/Enveloppe_convexe_de_On(R).pdf?id=e7cc361a-8038-455d-b73d-71c3b0942b1a&table=block&spaceId=687bfd0e-1fc2-4484-9a48-571d8d7ee864&expirationTimestamp=1689890400000&signature=jswTPoVYRXlHyEUm1TIhveVrxZeg-bqjzU_FYxM2Fn0&downloadName=Enveloppe+convexe+de+On%28R%29.pdf Vous trouverez toutes mes ressources pour l'agrégation à cette adresse : https://www.notion.so/delbep/Agr-gation-c834c3492ca94b68b157e683e615536b?pvs=4

Si ma version peut aider des gens, avec plaisir ! Référence sur le document. Attention aux éventuels coquilles.

Je fais le lemme 2 parce que je parle très vite mais on peut faire seulement le lemme 1 à l'oral.

La version affaiblie de Hahn-Banach géométrique suffit largement pour ce développement à mon avis. Il y a bien assez de connaissances à avoir en tête pour le maîtriser avec Carathéodory, le dual de $\mathcal{M}_n(\mathbf{R})$ et la décomposition polaire.

p344

D'après moi pour les leçons : 159, 161 et 181. Ma version est une version \"minimale\" qui n'utilise pas Hahn-Banach, mais une version affaiblie du tout début de la démonstration de ce théorème dans un espace de Hilbert qui est très simple à démontrer. Attention à bien préciser que l'on admet deux gros théorèmes pour ce développement : Caratheodory et la décomposition polaire. NB : tous mes développements sont généralement très détaillés car j'ai besoin de bien comprendre toutes les étapes. En l'état ils sont donc généralement trop longs pour tenir en 15 mins, et les parties \"faciles\" ne sont donc pas à mentionner ou juste à l'oral. J'écris assez mal également, toutes mes excuses.