Utilisateur : Matthieu C.

Garet Kurtzman pour le théorème de Lévy et Chabanol pour le TCL. Je fais un peu l'anguille à la fin de la preuve pour éviter de parler de log complexe. Mon avis sur les recasages: Loi d'une variable aléatoire, convergence d'une suite de variables aléatoires, et ça me semble très acceptable dans transformation de Fourier. Les remarques que j'ai mises à la fin du document sont purement personnelles ; elles font souvent référence aux difficultés que j'ai pu avoir au moment de préparer mes développements, peut-être certains pourront les trouver utiles... S'il y a une erreur dans le document ou quelque chose de douteux, vous pouvez me contacter par mail avec plaisir.

C'est la version que j'avais dans mon cours de licence, donc je ne suis pas en mesure de donner une référence. Attention quand même ici au fait que je le fais dans L1, beaucoup de preuves existent en passant par l'espace de Schwartz, mais elles ne sont pas exactement identiques (bien qu'intéressantes également). Je passe par la méthode avec l'équation différentielle pour calculer la transformée de Fourier de la Gaussienne, ça me semble être la conjonction entre efficacité, simplicité et rapidité. Mon avis sur les recasages: Fonctions et espaces de fonction Lebesgue intégrables Interversions en analyse Exemples de calculs d'intégrales Intégrales à paramètres Transformation de Fourier Les remarques que j'ai mises à la fin du document sont purement personnelles ; elles font souvent référence aux difficultés que j'ai pu avoir au moment de préparer mes développements, peut-être certains pourront les trouver utiles... S'il y a une erreur dans le document ou quelque chose de douteux, vous pouvez me contacter par mail avec plaisir.

Pas mon développement préféré, mais que voulez-vous, il faut bien avoir des développements dans les leçons sur la convexité... Côté recasages à mon avis: Utilisation de la convexité en analyse Fonctions monotones fonctions convexes Etudes de fonctions usuelles et spéciales Fonction définie par une intégrale à paramètre Les remarques que j'ai mises à la fin du document sont purement personnelles ; elles font souvent référence aux difficultés que j'ai pu avoir au moment de préparer mes développements, peut-être certains pourront les trouver utiles... S'il y a une erreur dans le document ou quelque chose de douteux, vous pouvez me contacter par mail avec plaisir.

Première partie prise dans le Zuily-Queffelec, la seconde dans la version du développement de abarrier. Pour les recasages à mon avis: Approximation par des fonctions régulières Variables aléatoires discrètes Continuité et dérivabilité de fonctions réelles, bien que peut-être que pour ce recasage, c'est mieux de montrer quelques propriétés du module de continuité, on y exploite les propriétés de l'uniforme continuité. Ceci dit, comme on montre la densité des polynômes dans les fonctions continues, j'avais quand même mis ce recasage pour ma version. Les remarques que j'ai mises à la fin du document sont purement personnelles ; elles font souvent référence aux difficultés que j'ai pu avoir au moment de préparer mes développements, peut-être certains pourront les trouver utiles... S'il y a une erreur dans le document ou quelque chose de douteux, vous pouvez me contacter par mail avec plaisir.

Développement fort classique certes, mais ça fait le job. Je suis passé dessus à l'oral le jour J, cf mon retour d'oral pour plus de détails. La récurrence est quand même assez longue et fastidieuse à faire, ça peut valoir le coup de regarder une autre preuve dans le Berthelin (par exemple avec les normes à poids, c'est plutôt joli aussi!) Les recasages à mon avis: Espaces complets (c'est la leçon dans laquelle j'ai présenté ce développement le jour de l'oral) EDO linéaires Application de la dimension finie en analyse Eventuellement espaces vectoriels normés Il est à mon avis hors sujet dans la leçon \"illustrer par des exemples la théorie des edos\"... C'est pas un exemple quoi... Les remarques que j'ai mises à la fin du document sont purement personnelles ; elles font souvent référence aux difficultés que j'ai pu avoir au moment de préparer mes développements, peut-être certains pourront les trouver utiles... S'il y a une erreur dans le document ou quelque chose de douteux, vous pouvez me contacter par mail avec plaisir.

On montre la continuité des fonctions convexes de $\mathbb{R}^n$, bien moins directe que la continuité des fonctions convexes de $\mathbb{R}$. Je mets en référence le Gourdon dans lequel une preuve de ce théorème est donnée en exercice, mais comme je l'ai écrit dans les remarques à la fin du document, ce n'est pas la référence que j'ai utilisée pour travailler ce développement. Je me suis servi du sujet d'écrit d'agreg 2011, donc je n'ai pas trouvé de référence valable pour cette version du développement, utilisable le jour J. Le développement amène à parler de fonctions convexes dans le plan de la leçon, c'est pas mal de donner les caractérisations de la convexité pour les fonctions $C^1$ et $C^2$. C'est très bien fait dans un exo du Gourdon. Les recasages à mon avis: Dimension finie en analyse Fonctions monotones et fonctions convexes Utilisation de la convexité en analyse Les remarques que j'ai mises à la fin du document sont purement personnelles ; elles font souvent référence aux difficultés que j'ai pu avoir au moment de préparer mes développements, peut-être certains pourront les trouver utiles... S'il y a une erreur dans le document ou quelque chose de douteux, vous pouvez me contacter par mail avec plaisir.

Développement pas trop difficile mais sympa quand même. Les recasages à mon avis: Connexité Thm d'inversion locale et des fonctions implicites Applications différentiables sur un ouvert de $\mathbb{R}^n$. Les remarques que j'ai mises à la fin du document sont purement personnelles ; elles font souvent référence aux difficultés que j'ai pu avoir au moment de préparer mes développements, peut-être certains pourront les trouver utiles... S'il y a une erreur dans le document ou quelque chose de douteux, vous pouvez me contacter par mail avec plaisir.

On utilise un argument de probabilité pour montrer que la série des $\sum 1/{p_k}$ diverge. Je propose ensuite une application de ceci grâce au lemme de Borel-Cantelli. Deux références possibles pour la première partie : le Gourdon ou le Rombaldi. Je crois que je n'avais pas de référence pour l'application, mais ce n'est pas très difficile. J'admets ici que la fonction $\zeta$ diverge en $1^{+}$ mais je pense qu'il faut savoir le prouver pour présenter ce développement. Côté recasages à mon avis: Séries de nombres réels ou complexes VA discrètes Indépendance en proba Je suppose que mettre ce développement en algèbre dans la leçon \"nombres premiers\" est envisageable, mais je pense qu'il y a des choses intéressantes et plus algébriques à faire dans cette leçon. Les remarques que j'ai mises à la fin du document sont purement personnelles ; elles font souvent référence aux difficultés que j'ai pu avoir au moment de préparer mes développements, peut-être certains pourront les trouver utiles... S'il y a une erreur dans le document ou quelque chose de douteux, vous pouvez me contacter par mail avec plaisir.

Le développement est certes un peu long (pour un escargot comme moi^^), mais il mérite d'être travaillé pour rentrer dans les temps, il est tellement joli...! On montre ici la version $L^2$, qui utilise un max la théorie des espaces de Hilbert, et la transformée de Fourier $L^2$. Je trouve ce développement vraiment génial. On pourra éventuellement se renseigner sur les applications en théorie du signal. Je mets une référence, mais la version telle que je la donne ici est quand même assez différente, il vaut mieux connaître bien le développement. Côté recasages à mon avis: Espaces de fonctions Espaces de Hilbert Transformation de Fourier Fonctions et espaces de fonctions Lebesgue intégrables Eventuellement espaces vectoriels normés, mais je pense qu'il y a mieux à y mettre... Les remarques que j'ai mises à la fin du document sont purement personnelles ; elles font souvent référence aux difficultés que j'ai pu avoir au moment de préparer mes développements, peut-être certains pourront les trouver utiles... S'il y a une erreur dans le document ou quelque chose de douteux, vous pouvez me contacter par mail avec plaisir.

Développement sympa, pas très long, efficace. Il y a pleins des variantes à explorer sur ce développement qui peuvent être sympa : cas des fonctions convexes, cas de racines multiples etc. Pour les références, la première partie est dans le Rouvière, la seconde dans le Dumas. Côté recasages à mon avis: Suites numériques Suites de la forme $u_{n+1}=f(u_n)$. Formules de Taylor Les remarques que j'ai mises à la fin du document sont purement personnelles ; elles font souvent référence aux difficultés que j'ai pu avoir au moment de préparer mes développements, peut-être certains pourront les trouver utiles... S'il y a une erreur dans le document ou quelque chose de douteux, vous pouvez me contacter par mail avec plaisir.

Développement que je trouvais assez joli. Il ne faut pas perdre de temps sur les calculs au début, mais ça se fait pas mal dans les temps. Il faut quand même bien le connaître. A mon avis, il est bon de se renseigner sur les applications des zéros de la fonction de Bessel, surtout pour agrémenter un peu la leçon sur les fonctions spéciales. En fait, on peut montrer des informations plus précises sur les zéros de la fonction $J$: un théorème de Sturm un peu plus fin permet de montrer que si on note ${(u_k)}_{k}$ la suite des zéros de la fonction $J$, alors $u_{k+1}-u_{k}$ tend vers $\pi$. Cela fait sens avec la fin du développement, je vous laisse découvrir ;) Pour les références, le FGN Analyse 4 fait la résolution de l'équation, et je connaissais le reste par coeur. Mais je pense que la preuve du théorème de Sturm doit se trouver (peut-être que le Berthelin le fait, à vérifier). Côté recasages à mon avis: EDO linéaires Exemples d'illustration de la théorie des EDO Séries entières Fonctions usuelles et spéciales Les remarques que j'ai mises à la fin du document sont purement personnelles ; elles font souvent référence aux difficultés que j'ai pu avoir au moment de préparer mes développements, peut-être certains pourront les trouver utiles... S'il y a une erreur dans le document ou quelque chose de douteux, vous pouvez me contacter par mail avec plaisir.

Une EDO qui fait une étude qualitative intéressante. Le Berthelin contient toutes les informations, mais dans un ordre que je qualifierais d'exotique (cf remarques à la fin du document). Côté recasages: Exemple d'illustration de la théorie des EDO Les remarques que j'ai mises à la fin du document sont purement personnelles ; elles font souvent référence aux difficultés que j'ai pu avoir au moment de préparer mes développements, peut-être certains pourront les trouver utiles... S'il y a une erreur dans le document ou quelque chose de douteux, vous pouvez me contacter par mail avec plaisir.

Il n'y a pas grand chose à dire, hormis que l'on utilise dans la preuve le fait que l'on connaisse les compacts de $\mathbb{R}^n$, donc il faut bien l'avoir écrit dans le plan de la leçon avant, et savoir le démontrer. Côté recasages à mon avis: Utilisation de la compacité Dimension finie en analyse Espaces vectoriels normés Les remarques que j'ai mises à la fin du document sont purement personnelles ; elles font souvent référence aux difficultés que j'ai pu avoir au moment de préparer mes développements, peut-être certains pourront les trouver utiles... S'il y a une erreur dans le document ou quelque chose de douteux, vous pouvez me contacter par mail avec plaisir.

Fameux développement c'est vrai, malgré tout très difficile à cause des connaissances théoriques nécessaires. En effet, je pense que si l'on choisit ce développement, il faut pleinement assumer de parler de sous-variétés et ne pas faire l'autruche. Si l'on prépare ce développement suffisamment tôt, c'est malgré tout très gérable. Le fameux \"théorème des sous-variétés\" qui donne l'équivalence entre plusieurs définitions de sous variété est un théorème important. Mon avis est que mieux vous maitriserez ce théorème, plus vous vous sentirez à l'aise pour parler de sous-variétés. Dans cette version du développement, j'ai fait le choix de démontrer une implication de ce théorème, qui est l'ingrédient miracle pour cette preuve. En plus, il justifie beaucoup mieux le recasage dans le leçon sur le théorème d'inversion locale puisque c'est à ce moment qu'il apparaît. La preuve que je donne ici est le fruit d'un regroupement de plusieurs références, livres et pdf trouvés sur le net, c'est pourquoi je ne donne pas de référence ici. J'espère ne pas avoir fait d'erreurs, sinon, signalez le moi par mail. Une fois qu'il est bien compris, c'est un développement de très haute qualité. Côté recasage: Fonctions différentiables sur un ouvert de $\mathbb{R}^n$. Théorème d'inversion locale et des fonctions implicites. Problèmes d'extrema. Les remarques que j'ai mises à la fin du document sont purement personnelles ; elles font souvent référence aux difficultés que j'ai pu avoir au moment de préparer mes développements, peut-être certains pourront les trouver utiles... S'il y a une erreur dans le document ou quelque chose de douteux, vous pouvez me contacter par mail avec plaisir.

Développement plutôt sympa, qui rentre bien dans le temps imparti même en prenant son temps. Je montre dans cette version que toute fonction holomorphe est analytique (à partir de la formule de Cauchy sur les convexes), j'en déduit les estimées de Cauchy et le théorème de Liouville qui affirme que toute fonction entière bornée est constante. Le Rudin fait les choses, mais tout n'est pas au même endroit dans le bouquin. Côté recasages: Espaces de fonctions Suites et séries de fonctions Séries entières Fonctions holomorphes Les remarques que j'ai mises à la fin du document sont purement personnelles ; elles font souvent référence aux difficultés que j'ai pu avoir au moment de préparer mes développements, peut-être certains pourront les trouver utiles... S'il y a une erreur dans le document ou quelque chose de douteux, vous pouvez me contacter par mail avec plaisir.

Version du développement que j'ai adaptée (j'espère sans erreur) pour que les coefficients de Fourier utilisés soient les coefficients pour les fonctions $2\pi$-périodiques. Si vous relevez des erreurs, signalez-les moi par mail. Côté recasages à mon avis: Séries de Fourier Exemples de méthodes de calcul d'intégrales Eventuellement (moins convaincant) séries de nombres réels et complexes, puisque l'on ramène le calcul de l'intégrale au calcul d'une série de nombres Eventuellement (moins convaincant) dans suites et séries de fonctions puisque l'on utilise les séries de Fourier. Par contre, dans la leçon 209 sur les approximations de fonctions par des fonctions régulières, je ne vois vraiment pas le rapport. Les remarques que j'ai mises à la fin du document sont purement personnelles ; elles font souvent référence aux difficultés que j'ai pu avoir au moment de préparer mes développements, peut-être certains pourront les trouver utiles... S'il y a une erreur dans le document ou quelque chose de douteux, vous pouvez me contacter par mail avec plaisir.

Développement vraiment mignon, je l'aime beaucoup. On peut bien prendre le temps d'expliquer le choses et de faire un joli dessin, qui est je pense indispensable pour cette preuve. Côté recasages à mon avis: Utilisation de la compacité Connexité Je ne le mettais ni dans \"suites numériques\" ni dans \"suites de la forme $u_{n+1}=f(u_n)$\" car la partie où on s'intéresse à ces objets est dans l'application qui n'est pas longue et qui n'est pas vraiment le centre du développement. Les remarques que j'ai mises à la fin du document sont purement personnelles ; elles font souvent référence aux difficultés que j'ai pu avoir au moment de préparer mes développements, peut-être certains pourront les trouver utiles... S'il y a une erreur dans le document ou quelque chose de douteux, vous pouvez me contacter par mail avec plaisir.

Dans cette version du développement, on utilise le théorème de méromorphie sous le signe de série. Ce n'est pas un théorème vraiment usuel, et il est pourtant central dans la preuve. Je n'ai jamais réussi à trouver une référence qui montre convenablement ce théorème, il convient de se renseigner. Hormis ce bémol (non négligeable à mon goût) le développement est plutôt joli. S'il est trop court, on pourra toujours démontrer au départ que la fonction Gamma est définie sur l'espace des complexes de partie réelle strictement positive. Côté recasages à mon avis: Fonctions définies par une intégrale dépendant d'un paramètre Fonctions usuelles et spéciales Problèmes d'interversion en analyse Fonctions holomorphes Les remarques que j'ai mises à la fin du document sont purement personnelles ; elles font souvent référence aux difficultés que j'ai pu avoir au moment de préparer mes développements, peut-être certains pourront les trouver utiles... S'il y a une erreur dans le document ou quelque chose de douteux, vous pouvez me contacter par mail avec plaisir.

Il est vrai que le développement paraît un peu technique aux premiers abords, mais quand on s'y plonge il n'est pas si compliqué. Je pense qu'il est pas mal pour faire un développement un peu exotique dans la leçon sur les formules de Taylor. Il ne faut pas aller trop vite pour ne pas perdre l'auditoire, les notations sont un peu lourdes. Cf remarques à la fin du document pour quelques précisions. Je mets le Avez en référence, mais le Avez fait la version $\mathbb{R}^n$ du théorème, ce qui le rend vraiment imbuvable pour le commun des mortels... Ceci dit, les idées y sont exactement les mêmes. Côté recasage à mon avis: Formules de Taylor Continuité et dérivabilité des fonctions réelles Les remarques que j'ai mises à la fin du document sont purement personnelles ; elles font souvent référence aux difficultés que j'ai pu avoir au moment de préparer mes développements, peut-être certains pourront les trouver utiles... S'il y a une erreur dans le document ou quelque chose de douteux, vous pouvez me contacter par mail avec plaisir.

Bon... Développement d'un intérêt faible à modéré à mon goût, mais il faut bien des développements pour la leçon sur les développements asymptotiques. Côté recasages à mon avis: Développements asymptotiques Séries de nombres réels et complexes Les remarques que j'ai mises à la fin du document sont purement personnelles ; elles font souvent référence aux difficultés que j'ai pu avoir au moment de préparer mes développements, peut-être certains pourront les trouver utiles... S'il y a une erreur dans le document ou quelque chose de douteux, vous pouvez me contacter par mail avec plaisir.

Cette version du développement sera peut-être courte, voire très courte pour certains. Je vois beaucoup de versions de ce développement faire beaucoup plus que moi. Si je voulais correctement tout expliquer, ne rien passer sous silence et donner l'intuition de la démonstration, j'avais besoin des 15 minutes. Peut-être que c'est insuffisant, mais moi ça me plaisait bien :) Le document de WOLFF est super intéressant, je le recommande vivement!! Côté recasages à mon avis: Développements asymptotiques Suites de la forme $u_{n+1}=f(u_n)$ Suites numériques Certains le mettent dans \"série de nombres réels et complexes\". Je ne trouve pas ça pertinent : on utilise un seul argument qui prend 1 minute à tout cassé dans le développement... Les remarques que j'ai mises à la fin du document sont purement personnelles ; elles font souvent référence aux difficultés que j'ai pu avoir au moment de préparer mes développements, peut-être certains pourront les trouver utiles... S'il y a une erreur dans le document ou quelque chose de douteux, vous pouvez me contacter par mail avec plaisir.

Développement très riche, mais long. Il faut bien le connaître pour qu'il rentre dans le temps, et ne pas traîner. Comme je l'ai écrit dans les remarques à la fin de ce document, je recommande vivement ce développement aux options A, mais je le déconseille vivement pour ceux qui n'ont jamais manipulé des vecteurs gaussiens. On a besoin de plein de notions hors programme. On applique le théorème de Cochran, très théoriques, au test d'adéquation du $\khi^2$ discret, qui a des applications nombreuses en statistiques. Côté recasages à mon avis: Loi d'une variable aléatoire Convergence d'une suites de variables aléatoires Indépendance en probabilité Pour la leçon \"VA discrètes\" ça se discute: certes le théorème de Cochran n'est pas du tout dans l'esprit de cette leçon, mais l'application, elle, y est en plein dedans. Je ne l'avais finalement pas mis dans cette leçon, car j'aurais bien eu du mal à l'intégrer dans ma leçon, sans faire une partie hors sujet sur les vecteurs gaussiens. Les remarques que j'ai mises à la fin du document sont purement personnelles ; elles font souvent référence aux difficultés que j'ai pu avoir au moment de préparer mes développements, peut-être certains pourront les trouver utiles... S'il y a une erreur dans le document ou quelque chose de douteux, vous pouvez me contacter par mail avec plaisir.

Développement que j'ai beaucoup aimé, et qui rentre pile dans le temps quand on prend son temps. La preuve du théorème de convergence $L^p$ des approximations de l'identité est quand même plus technique que son homologue qui montre la convergence uniforme sous les bonnes conditions. Elle fait revoir plein de choses en intégration (Hölder, continuité des translations, Fubini), et est très intéressante. Le théorème de Fejér en est une application directe. Je n'aime pas beaucoup les preuves \"directes\" du théorème de Fejér, parce qu'elles font tout sans dire qu'on utilise un théorème général sur les approximations de l'identité, et la bonne structure des noyaux de Fejér, qui ne tombe pas par hasard... Dans cette version, on insiste sur ce dernier point, c'est pourquoi j'ai choisi de prouver le théorème de Fejér de cette façon. Côté recasages à mon avis: Fonctions et espaces de fonctions Lebesgue intégrables Suites et séries de fonctions Approximation par des fonctions régulières Je le mettais dans la leçon \"Série des Fourier\", mais il faut admettre que l'on parle finalement assez peu de séries de Fourier dans le développement, même si l'objectif final est le théorème de Fejér. Encore une fois, vous êtes seuls juges :) Les remarques que j'ai mises à la fin du document sont purement personnelles ; elles font souvent référence aux difficultés que j'ai pu avoir au moment de préparer mes développements, peut-être certains pourront les trouver utiles... S'il y a une erreur dans le document ou quelque chose de douteux, vous pouvez me contacter par mail avec plaisir. NB : L'accent est bien sur le second E dans \"Fejér\" :)