Probabilité que deux éléments commutent dans groupe
On montre que la probabilité de tirer deux éléments qui commutent dans un groupe non abélien est toujours majoré par 5/8 et que l'on peut calculer explicitement cette probabilité en fonction du nombre de classes de conjugaisons et le cardinal du groupe\rOn applique alors ce résultats a un groupe de matrice sur un corps fini.
| Qualité | Numéro | Titre |
|---|---|---|
| 5 | 101 | Groupe opérant sur un ensemble. Exemples et applications.2025 |
| 5 | 103 | Conjugaison dans un groupe. Exemples de sous-groupes distingués et de groupes quotients. Applications.2025 |
| 5 | 104 | Groupes finis. Exemples et applications.2025 |
| 5 | 190 | Méthodes combinatoires, problèmes de dénombrement.2025 |
| 4 | 106 | Groupe linéaire d’un espace vectoriel de dimension finie E, sous-groupes de GL(E). Applications.2025 |
Utilisateur : Julie_D
Développement pouvant être fait en trois temps (que je n'ai pas mis dans l'ordre sur ma version) :
1) La probabilité p est majorée par 5/8 (cf Lesesvre);
2) Preuve de la formule de Burnside (cf n'importe quel livre d'algèbre faisant la preuve, je propose le Berhuy);
3) Application de la formule de Burnside pour montrer que p vaut le nombre de classe de conjugaisons divisé par le cardinal du groupe (pas de référence mais c'est facile).
Le Lesesvre propose un cas d'égalité avec le groupe diédral, que je ne traite pas.
Développement pouvant être utilisé dans les leçons 101, 103, 104 et 190.
Références :
131 Développements pour l’oral - D. Lesesvre, P. Montagnon, P. Le Barbenchon, T. Pierron
Algèbre : le grand combat: Cours et exercices - Grégory Berhuy
Utilisateur : Fabien Thireau
J'ai pris ce développement dans le carnet de voyage en Analystan de Caldero, disponible dans certaine BU. Attention ce livre n'étant pas commercialiser, on ne peut l'utiliser le jour J il faut donc le connaitre par coeur.
Références :