Critère de Sylvester et applications

<i>Théorème [Critère de Sylvester]</i>\rSi $A \in S_n(\mathbb{R})$, alors $A$ est sym. déf. positive ssi tous ses mineurs principaux dominants sont strictement positifs.\rEn d'autres termes si $A=(a_{i,j})_{1\leq i,j\leq n} \in S_n(\mathbb{R})$, on note $A_k=(a_{i,j})_{1\leq i,j\leq k} \in S_k(\mathbb{R})$. Alors $A \in S_n^{++}(\mathbb{R})$ si et seulement si $\det(A_k) > 0$ pour tout $k \in \{ 1,...,n\}$.\r\r<i>Application à la signature</i>\rSi $A \in M_n(\mathbb{R})$ est symétrique définie de signature $(r,s)$, alors elle est congruente à $diag(I_r, -I_s)$.\r\r<i>Exemple d'application</i>\rLa matrice de coefficients $\frac{1}{|i+j|-1}$ est symétrique définie positive.