Inégalité de Hoeffding

Si ma version peut aider des gens, avec plaisir ! Référence sur le document. Attention aux éventuels coquilles.

https://sites.google.com/view/evariste-d-aubergine

L'intérêt de cette inégalité est son corollaire qui est une version alternative de la loi forte des grands nombres où on ne suppose rien sur la loi des $X_i$. L'indépendance et la borne suffisent pour garantir la convergence presque sûre. (p127)

Peut être présentée avec une application. Soit $(X_n)_{n\in\mathbb{N}^*}$ une suite de variables aléatoires à valeurs réelles, indépendantes, centrées. On suppose qu'il existe une suite de réels strictement positifs $(c_n)_{n\in\mathbb{N}^*}$ telle que pour tout $n\in\mathbb{N}^*$, on ait : $$|X_n|\leq c_n, \text{ presque sûrement.}$$ On note $S_n=\sum_{k=1}^{n}{X_k}$. Alors, pour tout $\varepsilon\in\mathbb{R}_+^*$ et tout $n\in\mathbb{N}^*$, on a : \begin{equation} \mathbb{P}(|S_n|>\varepsilon) \leq 2\exp\left(\frac{-\varepsilon^2}{2\sum_{k=1}^{n}{c_k^2}}\ ight) \end{equation} Référence (théorème et deux applications) : Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements, J. et L. Bernis, Ellipses