Nombre de solutions d'équations polynomiales sur Fq

Soient $d$ divisant $q-1$ et $S_d$ l'ensemble des $n$-uplets de caractères $(\chi_1, \ldots , \chi_n)$ tels que $\chi_j \ot= \chi_0$, $\chi_j^d = \chi_0$ et $\chi_1 \cdots \chi_n = \chi_0$ où $\chi_0$ est le caractère trivial. Le nombre $N$ de solutions de l'équation $a_1 x_1^d + \cdots + a_n x_n^d = 0$ dans $\mathbb{F}_q^n$ est égal à \r\r$$ N = q^{n-1} + \frac{q-1}{q} \sum_{ (\chi_1 , \ldots , chi_n) \in S_d } \overline{\chi_1}(a_1) \cdots \overline{\chi_n}(a_n) G( \chi_1, \psi) \cdots G(\chi_n, \psi) $$