Fonction continue 2Pi-périodique dont la série de Fourier diverge en 0
Soit $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ la fonction paire, $2\pi$-périodique telle que pour tout $x \in [0, \pi]$ on ait \r\r$$ f(x) = \sum_{p \ge 1} \frac{1}{p^2} \sin( (2^{p^3} + 1) x/2 ) $$\r\rOn montre que série de de Fourier de $f$ diverge en $0$.
| Qualité | Numéro | Titre |
|---|---|---|
| 5 | 241 | Suites et séries de fonctions. Exemples et contre-exemples.2025 |
| 5 | 246 | Séries de Fourier. Exemples et applications.2025 |
| 1 | 209 | Approximation d’une fonction par des fonctions régulières. Exemples d’applications.2025 |
Utilisateur : Mathieu Dutour
Ce développement fournit un exemple de fonction continue et $2 \pi$-périodique dont la série de Fourier diverge en $0$; L'existence de telles fonctions peut aussi être prouvée (de manière non constructive) en utilisant Banach-Steinhaus.
Références :
Analyse - Gourdon