Estimateur du maximum de vraisemblance

Soit $X_1,...,X_n$ des variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées selon la loi $\mathbb{P}_\theta=\mathcal{U}([0,\theta])$ avec $\theta>0$. On note $\hat{\theta}_n$ l'estimateur du maximum de vraisemblance du paramètre $\theta$. Alors\r• $\hat{\theta}_n=\underset{1\leq i\leq n}{\max}X_i$\r• $\hat{\theta}_n$ est biaisé car $\mathbb{E}[\hat{\theta}_n]=\frac{n}{n+1}\theta$.\r• $\hat{\theta}_n$ est fortement consistant ie $\hat{\theta}_n\overset{\mathbb{P}_\theta \textrm{ p.s}}{\underset{n\to\infty}{\longrightarrow}}\theta$\r• La vitesse de convergence de $\hat{\theta}_n$ vers $\theta$ est $\frac{1}{n}$ car $n(\hat{\theta}_n-\theta)\overset{\mathcal{L}}{\underset{n\to\infty}{\longrightarrow}}-\mathcal{E}\left(\frac{1}{\theta}\right)$.\r• Le risque quadratique vaut \r\[\mathbb{E}_\theta[(\hat{\theta}_n-\theta)^2]=\frac{2\theta}{(n+1)(n+2)}.\]