On le sait bien, tout sous-groupe abélien de $GL_n(\mathbb{C})$ est cotrigonalisable, depuis le temps que le Gourdon nous terrorise avec ça. Mais qu'en est-il des sous-groupes résolubles, càd presque abéliens ? Il faut seulement rajouter une hypothèse de connexité pour que ça marche, et voici venu un magnifique théorème aux recasages analytico-algébriques. Cette fois il ne faut pas avoir peur des groupes résolubles. Le théorème est vraiment bonne ambiance, on utilise des raisonnements classiques sur les groupes topologiques. Le développement est un peu à tiroirs (et peu de versions justifient des passages pourtant techniques). À ce jour je n'ai aucun exemple concret d'application, et je suis preneur !

Je démontre tout ce dont on a besoin et tout est fait dans le livre de Chambert-Loir. Je pense qu'il n'est pas possible de tout faire le jour de l'oral et j'admettrai probablement la cotrigonalisation dans le cas commutatif. Bien travailler la logique du développement, comprendre ce que l'on démontre et pourquoi cela donne le résultat. Une fois qu'on a bien compris, ça déroule plutôt bien et c'est certifié sans calcul. Attention aux coquilles

On a un peu modifié la preuve de Chambert-Loir avec un apport de Wikipédia : https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Lie-Kolchin (consulté déc. 2017)

Référence : Algèbre corporelle, Antoine Chambert-Loir