Point de Fermat d'un triangle
Soient $A,B,C$ trois points non alignés du plan euclidien $\mathbb R^2$. On suppose que les trois angles du triangle ABC sont strictement inférieurs à $\frac{2\pi}{3}$. Soit $f$ la fonction qui au point $M$ associe la somme des distances $f(M) = AM + BM + CM$. \rAlors $f$ atteint un minimum sur $\mathbb R^2$ en un point $P$ intérieur au triangle $ABC$. Ce minimum est global strict (donc unique). De plus, les angles $\widehat{APB}, \widehat{BPC}$ et $\widehat{CPA}$ sont égaux à $\frac{2\pi}{3}$. \r
| Qualité | Numéro | Titre |
|---|---|---|
| 5 | 161 | Espaces vectoriels et espaces affines euclidiens : distances, isométries.2025 |
| 5 | 215 | Applications différentiables définies sur un ouvert de Rn. Exemples et applications.2025 |
| 5 | 219 | Extremums : existence, caractérisation, recherche. Exemples et applications.2025 |
| 4 | 229 | Fonctions monotones. Fonctions convexes. Exemples et applications.2025 |
| 4 | 253 | Utilisation de la notion de convexité en analyse.2025 |
Utilisateur : Brunel
Développement pas simple mais qui se retient bien une fois qu'on l'a travaillé. On peut faire plus, on peut en faire moins, à vous de voir (les autres documents sur agreg-maths sont très biens !). Les dessins sont indispensables le jour j je pense donc prenez l'habitude d'en faire.
Je prends ce développement pour les leçons 161 et 229 (il faut sans doute plus insister sur l'étape 4 pour la leçon 229).
On trouvera la preuve aux alentours de la page 376.
Références :
Petit guide de calcul différentiel - Rouvière
Utilisateur : Louis D
Un développement de géométrie utilisant des techniques d'analyse. Il est compliqué (vraiment, je trouve), mais je le garde car je pense qu'il est vraiment rentable au niveau appréciation du jury : c'est de la géométrie ! Et aussi, je l'aime bien.
Je pense qu'il faut vraiment bien le travailler si on le prend pour l'oral. Je compte reprendre la construction du point de Fermat (remarque 4 dans mon document), que je détaillerai peut-être un peu plus prochainement.
Attention : mes arguments diffèrent plus ou moins des références.
Recasage impossible en 191 : ce n'est pas de l'algèbre (dommage...).
Attention aux coquilles.
Références :
Objectif Agrégation - Beck, Malick, Peyré
Petit guide de calcul différentiel - Rouvière
Utilisateur : adrien pautre
Références :
Utilisateur : RMaurice
Si ma version peut aider des gens, avec plaisir !
Référence sur le document.
Attention aux éventuels coquilles.
Références :
Utilisateur : MULLER
Nous montrons l'égalité entre ces trois angles au moyen du calcul différentiel. Nous prouvons que le minimum est strict en justifiant que $f$ est strictement convexe sur tout ouvert convexe ne contenant pas $A,B$ ni $C$ (sur de tels domaines, $f$ est $C^{\infty}$ donc il est possible de différentier deux fois).
Attention, Rouvière n'utilise pas cet argument dans sa correction. Il utilise un argument géométrique pour prouver l'unicité (mais alors ça se recase moins...)
Références :
Petit guide de calcul différentiel - Rouvière