Fonctions caractéristiques et moments

Soit $X$ une variable aléatoire réelle. On note $\varphi_X$ sa fonction caractéristique. \r\rSi $X$ admet un moment d'ordre $n$, $\varphi_X$ est $C^n$ et pour tout $k \in [1, n]$ , on a pour tout $t \in \mathbb{R}$, $\varphi_X^{(k)}(t) = i^k \int_{\Omega} X^k \exp(itX) dP$. En particulier $\varphi_X^{(k)}(0) = i^k E[X^k]$. \r\rSi $\varphi_X$ est $k$ fois dérivable en $0$, avec $k \ge 2$, alors $X$ admet des moments jusqu'à l'ordre $2 E(k/2)$ ,où $E(k/2)$ est la partie entière, données par $\mathbb{E} [X^j] = (-1)^j \varphi_X^{(j)} (0)$.