Réduction des endomorphismes normaux dans un espace euclidien

Lemme: Soit $u\in\mathcal{L}(E)$ endomorphisme normal.\rAlors: il existe des sous-espaces vectoriels de $E$: $P_1;...;P_r$ de dimensions 1 ou 2, deux à deux orthogonaux, stables par $u$ tels que: $E = \bigoplus ^r_{j=1} P_j$.\r\rThéorème: Soit $u\in\mathcal{L}(E)$ endomorphisme normal.\rAlors: il existe une base orthonormée $\mathcal{B}$ de $E$ telle que: \r\r\[\r \mathcal{Mat}_{\mathcal{B}}(u) = \r \begin{bmatrix}\r D_p & & &\\\r & R_1 & & \\\r & & \ddots & \\\r & & & R_r\r \end{bmatrix} \r\]\ravec $D_p$ matrice diagonale, et pour tout $k\in[[1;r]],$\r\[\r R_k = \r \begin{bmatrix}\r a_k & -b_k\\\r b_k & a_k\r \end{bmatrix} \r\]\rtel que $b_k \eq 0$ et $p+2r = n$.