Théorème central limite

*Mes développements n’ont pas été pensés pour être partagés au départ, vous excuserez mon écriture et mes notations un peu brouillonnes. Soyez vigilants sur les coquilles/erreurs possibles et critiques sur ce que vous lisez. N’hésitez pas à me contacter pour des clarifications. *La plupart de mes dévs contiennent un plan et un rappel des énoncés, pour être au clair sur ce qu’on a à disposition et ce qu’on veut faire. *Les recasages inscrits sur le document sont les numéros de 2023/2024. Ce développement est à tiroirs et je démontre le lien entre fonction caractéristique et moments ou donne une application du TCL selon la leçon. Recasages : 218 - 261 - 262 - 266

La preuve du théorème en lui-même est un peu courte. À mon avis : soit on lui adjoint la preuve du théorème de Lévy (ce que j'ai fait), soit on trouve une application. Les références sont indiquées à la fin du plan. N'hésitez pas à me contacter pour me signaler toute erreur ou imprécision.

Attention à comment vous rédigez la construction des intervalles de confiance asymptotiques ! En effet, on divise par une variable aléatoire qui s'annule avec probabilité non-nulle pour tout $n$ (bien qu'elle tende vers $0$) ! Sinon, le résultat est vraiment central et mérite un développement, même s'il n'est pas forcément compliqué à montrer grâce au théorème de Lévy (qui, lui, est plus dur à montrer). Ne vous privez pas de l'utilisation du logarithme complexe ! C'est au programme et ça simplifie quand même beaucoup la preuve ! PS : J'ai mis qu'on prouve une version faible du théorème de Lévy. C'est bien le cas ! Le théorème de Lévy le plus général dit que si la suite des fonctions caractéristiques $\varphi_{X_n}$ converge simplement vers une fonction $\varphi$ bornée telle que $\varphi(0) = 1$ et qui est continue en $0$, alors il existe une variable aléatoire $X$ définie sur le même espace de probabilité que les variables $X_n$ telle que $X_n$ converge en loi vers $X$ ! Cela utilise le théorème de Prokhorov, donc c'est dur !

Recasages: 261, 262, 266 Page 207 Je n'utilise pas le logarithme complexe, ni le petit lemme qu'il est coutume d'ajouter. Je m'en sors avec un petit tour de passe-passe. Rekasator alternatif (test exhaustif cherchant la plus petite quantité sans prendre en compte la qualité) + tableur pour le suivi des leçons: https://sites.google.com/view/ospoam/accueil

Attention aux prérequis, dans cette version le théorème de Lévy et la régularité de la fonction caractéristique ne sont pas démontré. Rappel : attention aux erreurs/typos possibles et à la pertinence des développements, c'est à vous de vérifier et de juger.

Leçons 239, 241, 261, 262, 264, 266. Version avec une application.

Version avec une application à la détermination d'intervalles de confiance

Possibilité d'ajouter une des deux applications suivantes : Application 1 : Soit $p\in\, ]0,1[$. Soit $(Y_n)_{n\in\mathbb{N}^*}$ une suite de variables aléatoires réelles telle que pour tout $n\in\mathbb{N}^*$, $Y_n$ suive la loi binomiale $\mathcal{B}(n,p)$. Alors on a : $$ \frac{Y_n-np}{\sqrt{np(1-p)}} \xrightarrow[n\to +\infty]{\mathcal{L}} \mathcal{N}(0,1).$$ Application 2 : Soit $n\in \mathbb{N}^*$. On étudie le modèle statistique $\left( \{0,1\}^n, \{\mathcal{B}(1,p)\}_{p\in\, ]0,1[}\ ight)$. Soit $X_n,\ldots,X_n$, un $n$-échantillon de loi de Bernoulli $\mathcal{B}(1,p)$, $p\in\,]0,1[$. Pour $\alpha\in\, ]0,1[$, déterminons un intervalle au niveau de confiance asymptotique $1-\alpha$ du paramètre d'intérêt $p$. Référence (également valable pour le TCL) : Analyse pour l'agrégation de mathématiques, 40 développements, J. et L. Bernis, Ellipses

avec le théorème des évènements rares de Poisson