Le dénombrement des polynômes irréductibles unitaires sur un corps fini
$\textbf{Théorème.}$ Soit $n$ un entier naturel non nul, on note $N_q(n)$ le nombre de polynômes irréductibles unitaires de degré $n$ sur le corps fini $\mathbb{F}_q$, alors, on a :\r$$N_q(n)=\frac{1}{n}\sum_{d\vert n}q^d\mu\left(\frac{n}{d}\right).$$
| Qualité | Numéro | Titre |
|---|---|---|
| 5 | 123 | Corps finis. Applications.2025 |
| 5 | 141 | Polynômes irréductibles à une indéterminée. Corps de rupture. Exemples et applications.2025 |
| 5 | 144 | Racines d’un polynôme. Fonctions symétriques élémentaires. Exemples et applications.2025 |
| 5 | 190 | Méthodes combinatoires, problèmes de dénombrement.2025 |
| 4 | 125 | Extensions de corps. Exemples et applications2025 |
Utilisateur : Alice M
Mes documents sont longs, déjà parce que je parle vite (donc il faut beaucoup de contenus), que j'écris gros, et que j'aime bien comprendre dans les détails, mais aussi et surtout parce qu'il y a beaucoup de remarques/infos à la fin, pour essayer d'être capable de répondre au max de questions liées au dev !
Evidemment, il est fort possible qu'il y ait des coquilles de ci de là, n'hésitez pas à me les signaler !
(Bon courage !)
Références :
Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie - Jean Etienne Rombaldi
Utilisateur : ma_tilde
Version manuscrite, désolée pour l'écriture .
Il se peut qu'il reste des coquilles, n'hésitez pas à me contacter au besoin.
Références :
Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie - Jean Etienne Rombaldi
Algèbre : le grand combat: Cours et exercices - Grégory Berhuy
Utilisateur : Marstelle
*Mes développements n’ont pas été pensés pour être partagés au départ, vous excuserez mon écriture et mes notations un peu brouillonnes. Soyez vigilants sur les coquilles/erreurs possibles et critiques sur ce que vous lisez. N’hésitez pas à me contacter pour des clarifications.
*La plupart de mes dévs contiennent un plan et un rappel des énoncés, pour être au clair sur ce qu’on a à disposition et ce qu’on veut faire.
*Les recasages inscrits sur le document sont les numéros de 2023/2024.
Ma version ne parle pas de la fonction de Möbius. Je fais un exemple d'utilisation du résultat.
Références :
Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie - Jean Etienne Rombaldi
Utilisateur : Geoffrey D
Références :
Utilisateur : Demesmay
Références :
Corps commutatifs et théorie de Galois - Tauvel
Utilisateur : EWna
Recasages: 123, 125, 141, 190
Page 423
Pour prouver la formule d'inversion de Moebius, je n'utilise pas (explicitement) la convolution de Dirichlet comme le fait Rombaldi: il suffit d'écrire la somme, utiliser la relation et permuter les deux sommes, il n'y même pas besoin de le retenir tellement ça glisse tout seul !
Rekasator alternatif (test exhaustif cherchant la plus petite quantité sans prendre en compte la qualité) + tableur pour le suivi des leçons: https://sites.google.com/view/ospoam/accueil
Références :
Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie - Jean Etienne Rombaldi
Utilisateur : RMaurice
Si ma version peut aider des gens, avec plaisir !
Référence sur le document.
Attention aux éventuels coquilles.
Références :
Utilisateur : Burel
Références :
Corps commutatifs et théorie de Galois - Tauvel
Utilisateur : Golaretuf
Dans cette version j'utilise la formule d'inversion de Moebius sans la démontrer.
Rappel : attention aux erreurs/typos possibles et à la pertinence des développements, c'est à vous de vérifier et de juger.
Références :
Exercices mathématiques - Francinou, Gianella
Corps commutatifs et théorie de Galois - Tauvel
Utilisateur : Aurélie BIGOT
Leçons 123, 125, 141, 144, 190
Références :
Exercices mathématiques - Francinou, Gianella
Utilisateur : Matmat
Développement pas trop long, assez compliqué mais très recasable ce qui en fait, pour moi, un incontournable.
On utilise le théorème fondamental de l'arithmétique, le théorème de Lagrange, la notion de polynome minimal, la notion de corps de rupture et de décomposition et le théorème de la base télescopique.
NB1 : Il faut se convaincre soi-même de la pertinence d'un recasage et être capable de défendre son choix le jour J devant le jury. Vous pouvez, évidemment, ne pas être d'accord avec moi.
NB2 : Il peut y avoir des fautes dans ce que j'écris, faites attention.
NB3 : Attention, il n'est pas évident que : $ [F_{q^n} : F_[q}] = n $. (voir la question 1 qui manque de détails)
Références :
Exercices mathématiques - Francinou, Gianella
Utilisateur : Clement T
Références :
Exercices mathématiques - Francinou, Gianella
Utilisateur : Taranta Babu
Très beau développement via la convolution de Dirichlet et le théorème de la base téléscopique
Références :
Mathématiques pour l'agrégation: Algèbre et géométrie - Jean Etienne Rombaldi
Analyse fonctionnelle - Théorie et applications - Brezis, Haim
Utilisateur : Owen
On montre également l'équivalent du cardinal quand $n$ tend vers $+\infty$.
Références :
Corps commutatifs et théorie de Galois - Tauvel