218 - Formules de Taylor. Exemples et applications.2025

Rapport du jury 2017

Il faut connaître les formules de Taylor et certains développements très classiques et surtout être capable de faire la différence entre les formules et de maîtriser leurs champs d’application. En général, le développement de Taylor d’une fonction comprend un terme de reste qu’il est crucial de savoir analyser. Le candidat doit pouvoir justifier les différentes formules de Taylor proposées ainsi que leur intérêt. Le jury s’inquiète des trop nombreux candidats qui ne savent pas expliquer clairement ce que signifient les notations o ou O qu’ils utilisent. De plus la différence entre l’existence d’un développement limité à l’ordre deux et l’existence de dérivée seconde doit être connue. On peut aussi montrer comment les formules de Taylor permettent d’établir le caractère développable en série entière (ou analytique) d’une fonction dont on contrôle les dérivées successives. \r\rPour aller plus loin, on peut mentionner des applications en algèbre bilinéaire (lemme de Morse), en géométrie (étude locale au voisinage des points stationnaires pour les courbes et des points critiques pour la recherche d’extrema) et, même si c’est plus anecdotique, en probabilités (théorème central limite). On peut aussi penser à la méthode de Laplace, du col, de la phase stationnaire ou aux inégalités contrôlant les dérivées intermédiaires lorsque f et sa dérivée n-ième sont bornées, ou encore à l’analyse de méthodes d’intégration numérique ou l’étude de consistance de l’approximation de $\frac{d^2}{dx^2}$ par différences finies. On soignera particulièrement le choix des développements.